湖北省武汉市洪山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$ D、 $2 a^{5} \cdot 3 a^{5} = 5 a^{5}$

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2. “致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下列大学校徽的主体图案不是轴对称图形的是（）

A、武汉理工大学 B、华中师范大学 C、华中农业大学 D、武汉大学

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3. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $(x - 1) (x - 2) = x^{2} - 3 x + 2$ B、 $x^{2} + y^{2} = (x + y) (x - y)$ C、 $x^{2} + 4 x + 4 = x (x + 4) + 4$ D、 $x^{2} - 3 x - 4 = (x - 4) (x + 1)$

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4. 下列等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{3}{a + b}$ B、 $\frac{a b}{a b - b^{2}} = \frac{a}{a - b}$ C、 $\frac{2}{2 a + b} = \frac{1}{a + b}$ D、 $\frac{a}{- a + b} = - \frac{a}{a + b}$

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5. 如果把 $\frac{2 x y}{2 x - 3 y}$ 中的 $x$ 和 $y$ 都扩大为原来的5倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的4倍 B、不变 C、缩小为原来的 $\frac{1}{5}$ D、扩大为原来的5倍

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6. 若 $2 x y - x + y = 0$ 且 $x y \neq 0$ ，则分式 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $x y$ D、 $\frac{1}{x y}$

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7. △ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²＝ab+bc+ac，则△ABC是（）

A、等边三角形 B、腰底不等的等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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8. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，点D是边 $A B$ 上一点，连接 $D C$ ，将 $△ A D C$ 沿 $D C$ 所在直线折叠得到 $△ F D C$ ，点F是点A的对应点， $F C$ 与 $A B$ 交于点E，下列结论一定正确的是（）

A、 $D C = D B$ B、 $∠ A F C = ∠ D C B$ C、 $C E = C B$ D、 $A D ⊥ D F$

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9. 已知实数 $a$ 满足 $a^{2} - 2 a - 1 = 0$ ，则代数式 $2 a^{3} - a^{2} - 8 a + 4$ 的值为（）

A、9 B、7 C、0 D、 $- 9$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，以 $A B$ ， $B C$ 为腰作等腰直角 $△ A B E$ 和等腰直角 $△ B C F$ ，其中 $∠ A B E = ∠ C B F = 90 °$ ，连接 $E F$ ， $B D$ 为 $E F$ 边上的高，延长 $D B$ 交 $A C$ 于点 $N$ ．有下列结论：① $∠ B E F = ∠ A B N$ ；② $E A ∥ D N$ ；③ $S_{△ B E F} = S_{△ A B C}$ ；④ $N$ 为 $A C$ 中点．
其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 当x时，分式 $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ 的值为零.

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12. 化简： $\frac{5 x + 3 y}{x^{2} - y^{2}} + \frac{2 x}{y^{2} - x^{2}} =$ ．

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13. 已知 $a^{m} = 2 ， a^{n} = 3$ ，则 $a^{2 m - 3 n}$ 的值为．

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14. 已知 $4 x^{2} - (m + 1) x + 9$ 是完全平方式，则常数 $m =$ ．

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15. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 的解是正数，则 $m$ 的取值范围是．

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16. 如图，等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ， $M$ 为 $A B$ 中点．点 $D$ 为射线 $B C$ 上的一个动点，以 $A D$ 为直角边向右上方构造等腰直角 $△ A D E$ ， $∠ D A E = 90 °$ ，连接 $E M$ ．在 $D$ 点的运动过程中， $E M$ 长度的最小值是．

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三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．

17. 因式分解：

(1)、 $x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}$

(2)、 $m^{2} (a - b) + n^{2} (b - a)$

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上的一点， $A B = D B$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 边于点E，连接 $D E$ .

(1)、求证： $Δ A B E ≅ Δ D B E$ ；

(2)、若 $∠ A = 100 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ A E B$ 的度数.

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19. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 1}$ ，从 $- 1$ ，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值.

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20. 探索

(1)、如果 $\frac{2 x - 3}{x - 1} = 2 + \frac{n}{x - 1}$ ，则 $n =$ ；

(2)、如果 $\frac{5 x + 3}{x + 2} = 5 - \frac{n}{x + 2}$ ，则 $n =$ ；

(3)、总结如果 $\frac{a x + b}{x + c} = a + \frac{n}{x + c}$ （其中 $a ， b ， c$ 为常数），则 $n =$ ；

(4)、应用若代数式 $\frac{4 x - 3}{x - 1}$ 的值为整数，求满足条件的整数 $x$ 的值．

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21. 如图，在 $7 \times 8$ 网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点， $A ， B ， C$ 均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)、在图1中，作 $C D ∥ A B$ （D在 $B C$ 下方），且 $C D = A B$ ；

(2)、在图1中；作 $B C$ 的中点 $O$ ，在线段 $A B$ 上作点 $P$ ，使得 $∠ B O P = ∠ A O C$ ；

(3)、在图2中；在线段 $B C$ 上作点 $Q$ ，使得 $∠ B A Q = 45 °$ ；

(4)、在图2中，已知 $A B = 5$ ，在 $A B$ 上作点 $M$ ，使得 $∠ B = 2 ∠ A C M$ ．

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22. 有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．

(1)、求甲、乙两工程队每天各完成多少米?

(2)、如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可合作施工多少天?（注：工作天数取整数）

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23. 如图

(1)、如图1， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = α (0 ° < α < 180 °)$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于 $D$ ，过 $C$ 点作 $D C$ 的垂线交 $A B$ 的垂直平分线于M，连AM，N在 $A C$ 的延长线上．求证： $C M$ 平分 $∠ B C N$ ；

(2)、把（1）中的“ $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 手 $D$ ”换成“ $C D$ 平分 $∠ A C B$ 的外角 $∠ A C F$ 交直线 $A B$ 于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出 $∠ B A M$ 的度数 ▲ ；（用含 $α$ 的式子表示）

(3)、在（1）的条件下；若 $α = 90 °$ （如图3），且 $B C = 2 A C = 10$ ，作 $M H ⊥ B C$ 于 $H$ ，求 $M H$ 的长度．

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24. 在平面直角坐标系中， $A (0 ， a)$ ， $B (b ， 0)$ ，且 $a^{2} + b^{2} + 32 = 8 a + 8 b$ ．

(1)、直接写出 $A ， B$ 两点的坐标；

(2)、如图1， $E$ 点在线段 $A B$ 上，且 $E$ 点横坐标为 $\frac{6}{5}$ ，连接 $O E$ ．在第四象限过 $O$ 点作 $O G ⊥ O E$ ，且 $O G = O E$ ，连接 $A G$ ，作 $O H ⊥ A G$ 于 $H$ ，交 $A B$ 于点 $P$ ，求 $△ O P E$ 的面积；

(3)、如图2， $∠ M O N = 40 °$ ， $O N$ 与 $x$ 轴非负半轴重合， $O M$ 在第一象限，将 $∠ M O N$ 以 $2.5 °$ /秒的速度绕点 $O$ 在第一象限内逆时针旋转， $O M$ ， $O N$ 分别与线段 $A B$ 交于点 $E$ ， $F$ ，在第二象限过 $O$ 点作 $O H ⊥ O F$ ，且 $O H = O F$ ，问经过多长时间， $△ A E H$ 为等腰三角形？

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