湖北省武汉市江岸区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$ B、 $- 2 a^{3} \div (- a) = a^{2}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $2 a - a = 1$

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3. 在平面直角坐标系中，点 $P (2 ， 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(2 ， - 3)$ C、 $(- 2 ， 3)$ D、 $(- 2 ， - 3)$

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4. 若把分式 $\frac{x + y}{x y}$ 中的 $x$ 和 $y$ 都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的2倍 B、扩大为原来的4倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ D、缩小为原来的 $\frac{1}{2}$

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5. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）

A、 $a (x + y) = a x + a y$ B、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - 2) + 1$ C、 $6 x^{2} - 3 x = 3 x (2 x - 1)$ D、 $x^{2} - 4 + 3 x = (x - 2) (x + 2) + 3 x$

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6. 如图，用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明 $∠ A O C = ∠ B O C$ 的依据是（）

A、SSS B、ASA C、AAS D、角平分线上的点到角两边距离相等

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 76 °$ ，边 $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，连接 $A D$ ，若 $A B + B D = B C$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $28 °$ B、 $38 °$ C、 $36 °$ D、 $30 °$

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8. 八年级学生去距学校12千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为 $x$ 千米/小时，则所列方程正确的是（）

A、 $\frac{12}{x} - \frac{12}{3 x} = 20$ B、 $\frac{12}{3 x} - \frac{12}{x} = 20$ C、 $\frac{12}{x} - \frac{12}{3 x} = \frac{1}{3}$ D、 $\frac{12}{3 x} - \frac{12}{x} = \frac{1}{3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A D = 30 °$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠至 $△ A D B^{'}$ ， $∠ A C B = 2 α$ ，连接 $B^{'} C$ ， $B^{'} C$ 平分 $∠ A C B$ ，则 $∠ A B^{'} D$ 的度数是（）

A、 $60 ° + \frac{α}{2}$ B、 $60 ° + α$ C、 $90 ° - \frac{α}{2}$ D、 $90 ° - α$

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10. 请同学们学习材料①若 $x - y > 0$ ，则 $x > y$ ；② $x^{2} + x + 1 = (x^{2} + x + \frac{1}{4}) + \frac{3}{4} = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} ⩾ \frac{3}{4}$ ．解决以下问题： $A = x^{2} + 2 y^{2}$ ， $B = 2 x y + y - m$ ，当 $A > B$ 恒成立时， $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > \frac{1}{4}$ B、 $m > \frac{1}{2}$ C、 $m > \frac{3}{4}$ D、 $m > 1$

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 使分式 $\frac{2 x}{x - 2}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是．

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12. 我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有 $0.00000000034 m$ ，请将 $0.00000000034$ 用科学记数法表为．

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13. 若 $a^{m} = 4$ ， $a^{n} = 3$ ，则 $a^{m - 2 n}$ 等于．

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14. $△ A B C$ 中， $A B = 12$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = 5$ ，则 $A C$ 的取值范围是．

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15. 如图，等边 $A B C$ 中，点 $D$ 为线段 $A C$ 上一动点， $B D$ 为边作等边 $△ B D E$ （ $B$ 、 $D$ 、 $E$ 顺时针排列）．将 $△ D C E$ 沿 $A C$ 对称得到 $△ D C E^{'}$ ，若 $B C = a$ ， $C D = b$ ，则 $E^{'} B =$ （用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $A B ∥ D C$ ， $∠ B A C$ 的角平分线 $A D ⊥ B D$ 于 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为．

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三、解答题（共8小题）

17. 计算：

(1)、 $(- 4 x^{2}) (3 x - 1)$ ；

(2)、 $(x - 2 y)^{2} - (x + y) (x - y)$ ．

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18. 分解因式：

(1)、 $m (a - 3) + 2 (a - 3)$ ；

(2)、 $a^{3} b - a b$ ．

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19. 如图， $A B = C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $C E = B F$ ．
求证： $A E = D F$ ．

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20. 先化简，再求值： $(x - 2 + \frac{8 x}{x - 2}) \div \frac{x + 2}{3 x - 6}$ ，其中 $x = - \frac{1}{3}$ ．

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21. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 8$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示。图中的点A、B、C、P、Q在格点上，其中 $A B = 5$ ．
图1 图2 图3

(1)、在图1中先作线段 $C D ∥ A B$ 且 $C D = A B$ ，然后作 $△ A B C$ 的高 $C E$ ；

(2)、在图2中作 $△ A B C$ 的角平分线 $A F$ ；

(3)、在图3中的直线 $P Q$ 上找一点 $M$ ，使 $∠ A M P = ∠ B M Q$ ．

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22. 今年初冬，受强冷空气影响，12月13日早晨开始，北京市出现强降雪天气，截至14日18时，北京市共出动专业作业人员 $11.5$ 万人次，出动扫雪铲冰作业车辆 $1.7$ 万车次，分成若干个小组，及时开展扫雪除冰工作，保障道路畅通及市民出行安全．其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作；若甲组先单独扫雪4小时，再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作．

(1)、求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时？

(2)、如果甲、乙两组合作时对道路交通有影响，单独工作时对交通无影响，且要求完成扫雪工作不超过 $2.5$ 小时，问如何安排扫雪工作，对道路交通的影响会最小？

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23. 以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰 $△ A C D$ 与等腰 $△ C B E$ ， $D A = D C$ ， $E C = E B$ ， $∠ A D C = α$ ， $∠ C E B = β$ ，且 $α + β = 180 °$ ．

(1)、如图1，当点A、B、C三点共线时，求证： $D C ⊥ C E$ ；

(2)、如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接 $A B$ ，点 $F$ 为 $A B$ 中点，连接 $D F$ 、 $E F$ ，求证： $D F ⊥ E F$ ；

(3)、如图3，当点 $B$ 在线段 $A D$ 上运动时（点 $B$ 与A、D不重合），请直接写出 $∠ A E C$ 与 $∠ D B C$ 的数量关系．（直接填写答案）

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24. 如图1，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 4)$ ，点 $B$ 在第一象限， $△ O A B$ 为等边三角形．

(1)、直接写出点 $B$ 的纵坐标；（直接填写答案）

(2)、如图2， $O M$ 、 $B N$ 是 $△ O A B$ 的中线， $O M$ 、 $B N$ 的交点为 $C$ ，点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $D$ ，连接 $A D$ 交 $O M$ 于 $E$ ，求点 $E$ 的纵坐标；

(3)、如图3，OM是 $△ O A B$ 的中线，若点 $P$ 为直线 $O M$ 上的动点，连接 $P A$ ，以 $A P$ 为边作等边 $△ A P Q$ （点A、P、Q为逆时针方向），求 $A Q + O Q$ 取最小值时点 $Q$ 的纵坐标．

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