2024年人教版中考数学二轮复习专题2 整式与因式分解

试卷更新日期：2024-02-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 单项式 $- \frac{π a^{2} b^{3}}{3}$ 的系数和次数分别是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ ，6 B、 $- \frac{1}{3}$ ，5 C、 $- \frac{π}{3}$ ，5 D、 $\frac{π}{3}$ ，5

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2. 已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）

A、8.23×10^﹣⁶ B、8.23×10^﹣⁷ C、8.23×10⁶ D、8.23×10⁷

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3. 下列说法正确的是（）

A、 $- x^{2} y - 2^{2} x^{3} y$ 是六次多项式 B、 $\frac{3 x + y}{3}$ 是单项式 C、 $- \frac{1}{2} π a b$ 的系数是 $- \frac{1}{2} π$ ，次数是2次 D、 $\frac{1}{a}$ +1是多项式

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4. 如图一标志性建筑的底面呈正方形，底面采用 $4$ 块完全相同的长方形地砖和一块正方形地砖拼成，则以下说法正确的是（）

A、由里面小正方形地砖的周长可求长方形的面积 B、由里面小正方形地砖的面积可求大正方形的面积 C、由长方形地砖的面积可求外面大正方形的面积 D、由长方形地砖的周长可求外面大正方形的面积

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5. 若x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（）

A、﹣2 B、2 C、0 D、1

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6. 当x=l时，代数式ax³-3bx+5的值是2019，则当x=-l时，这个代数式的值是（　　）

A、2014 B、-2019 C、2009 D、-2009

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7. 如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）

A、（a﹣b）²=a²﹣2ab+b² B、（a+b）²=a²+2ab+b² C、a²﹣b²=（a+b）（a﹣b） D、a²+ab=a（a+b）

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8. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（　）

A、45 B、63 C、84 D、108

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9. 若实数a，b，c满足条件 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c} ，$ 则a，b，c中（）

A、必有两个数相等 B、必有两个数互为相反数 C、必有两个数互为倒数 D、每两个数都不相等

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10. 如图，敲击三根管时依次发出“1”、“3”“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击，不同的是：甲锤每拍移动一位(左中右中左中右…)，乙锤则在两端各有一拍不移位(左中右右中左左中右…)，在第2023拍时，你听到的是（）

A、同样的音“1” B、同样的音“3” C、同样的音“5” D、不同的两个音

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11. 如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S₂是左侧阴影部分面积S₁的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（）

A、20 B、25 C、 $\frac{49}{2}$ D、 $\frac{81}{4}$

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二、填空题

12. 因式分解： $a^{3} - 16 a =$ .

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13. 已知 $a = 7 - 3 b$ ，则代数式 $a^{2} + 6 a b + 9 b^{2}$ 的值为.

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14. 对于三个互不相等的有理数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，我们规定符号 $m a x {a ， b ， c}$ 表示 $a$ ， $b$ ， $c$ 三个数中较大的数，例如 $m a x {2，3 ， 4} = 4 .$ 按照这个规定则方程 $m a x {x ， - x ， 0} = 3 x - 2$ 的解为．

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15. 某种商品的原价每件a元，第一次降价打“八折”，第二次降价又减10元.则两次降价后的售价为元.

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16. 对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y=ax+by-5，其中a，b为常数.已知1 ⊕2=9，(-3)⊕3=-2，则2a+b=.

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17. 对于两个不相等的实数a、b ，我们规定符号 $M i n {a ， b}$ 表示a ， b中的较小的值，如 $M i n {2 ， 4} = 2$ ，按照这个规定，方程 $M i n (\frac{1}{1 - x} ， \frac{2}{1 - x}) = \frac{4}{x - 1} - 3$ 的解为．

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18. 如图，现有边长分别为 $a$ 和 $3 (a > 3)$ 的正方形纸片，以及长、宽分别为 $x ， y$ 的长方形，其中 $x - y = 2$ ．将两正方形纸片按图1和图2两种方式（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠）放置于长方形中，其中未被覆盖的部分用阴影表示．若图1中阴影部分的面积记为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分的面积记为 $S_{2}$ ．则 $S_{2} - S_{1} =$ ．

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19. 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）….如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律.请写出第n个数对：.

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三、计算题

20. 选用合适的方法将下列各式分解因式：

(1)、5x²+7x-6．

(2)、3a²b²-17abxy+10x²y² ．

(3)、a²+2ab+ac+bc+b²

(4)、a²-a²b+ab²-a+b-b² ．

(5)、x²-16x-561．

(6)、(x²+5x+3)(x²+5x-2)-6．

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21. 先化简，再求值：

(1)、 $- n + 2 (3 n - 4) - (n + 5)$ ，其中 $n = - \frac{5}{4}$ ．

(2)、 $2 (\frac{3}{2} a^{2} - 3 a b - b^{2}) - (a^{2} - 5 a b - 2 b^{2})$ ，其中 $a = 7$ ， $b = - \frac{1}{7}$ ．

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22. 先化简再求值： 4（ $\frac{1}{2}$ x²﹣3xy﹣y²）﹣3（x²﹣7xy﹣2y²），其中x，y满足（x+1）²+|y﹣2|＝0.

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四、解答题

23. 如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

(1)、第 $99$ 个图形中，第一行共有块瓷砖，第一列共有块瓷砖，该图中白色瓷砖共有块．

(2)、第 $n$ 个图形中，铺设地面所用黑色瓷砖的块数为． (用含 $n$ 的代数式表示)

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24. 某城市出租车的收费标准为：行驶里程不超过 $3 k m$ 收费 $7$ 元，超过 $3 k m$ 的部分按每千米加 $1.8$ 元收费 $.$ 小丽乘出租车从体育馆到少年宫．

(1)、若行驶里程为 $s (k m) (s > 3)$ ，则用 $s$ 的代数式表示费用．

(2)、如果小丽乘坐的出租车行驶了 $4.5 k m$ ，小丽只有 $10$ 元钱，付车费够不够？

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25. 如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．

(1)、用含有a、b的式子表示绿化的总面积S

(2)、若a=2，b=4，求出此时绿化的总面积S．

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26. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4 .$ 点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A B - B C$ 以每秒 $2$ 个单位的速度向点 $C$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $C B$ 以每秒 $1$ 个单位的速度向点 $B$ 运动，当点 $P$ 到达点 $C$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动 $.$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当点 $P$ 在 $A B$ 边上运动时， $P B =$ ；当点 $P$ 在 $B C$ 边上运动时， $P B =$ $. ($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$

(2)、当点 $P$ 与点 $Q$ 重合时，求 $t$ 的值．

(3)、当 $t = 1$ 时，求 $△ P D Q$ 的面积．

(4)、若点 $P$ 关于点 $B$ 的中心对称点为点 $P'$ ，直接写出 $△ P D P'$ 和 $△ Q D C$ 面积相等时 $t$ 的值．

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27. 某品牌童装专卖店新推出 A，B，C三种款式的春装.某个周末的销售量（单位：件）如（下表：)

A
B
C
合计
周六的销售量

y

30
周日的销售量
x
2y
4x
5x+2y
合计
10
3y

30+5x+2y

(1)、请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含 x，y的代数式表示）.

(2)、已知A 款周六的销售量与 B 款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A，B 两款的销售总量之和还多 4件.
①求x，y的值.
②已知三种款式的春装单价均为大于 100 的整数，且 A 款的单价是 B 款的 3 倍.如果周六的总销售额为 5 600元，那么B款的单价可以是（写出所有可能的结果）.

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五、实践探究题

28. 阅读材料，解决问题：
把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m，n，满足 $m^{2} + n^{2} = x$ 且 $m n = \sqrt{y} ，$ 则可以把 $x \pm 2 \sqrt{y}$ 变成 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n = {(m \pm n)}^{2} ，$ ，开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简.
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} .$
解： $∴ 3 + 2 \sqrt{2} = 1 + 2 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \times 1 \times$ $\sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2} ，$
$∴ \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2} .$

(1)、化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} ，$

(2)、已知 1≤a≤2，化简： $\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} +$ $\sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}}) .$

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29. 先阅读材料，再解答问题：
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当 $x = \sqrt{3} + 1$ 时，求 $\frac{1}{2} x^{3} - x^{2} - x + 2$ 的值.
为解答这道题，若直接把 $x = \sqrt{3} + 1$ 代入所求的式子中进行计算显然很麻烦，我们可以通过恒等变形对本题进行解答：
将条件变形，由 $x = \sqrt{3} + 1 ，$ 得 $x - 1 = \sqrt{3} ，$ 再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由 $x - 1 = \sqrt{3} ，$ 得 $x^{2} - 2 x + 1 = 3 ，$ 即 $x^{2} - 2 x = 2 ， x^{2}$ =2x+2.
原式 $= \frac{1}{2} x (2 x + 2) - x^{2} - x + 2 = x^{2} + x - x^{2} - x + 2 = 2$

(1)、若 $x = \sqrt{2} - 1 ，$ 求 $2 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1$ 的值.

(2)、若 $x = 2 + \sqrt{3} ，$ 求 $\frac{x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} - 5 x + 5}{x^{2} - 4 x + 3}$ 的值.

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六、综合题

30. 如图，面积为30的长方形 $O A B C$ 的边 $O A$ 在数轴上， $O$ 为原点， $O C = 5$ .线段 $O_{1} C_{1}$ 从OC出发，以每秒1个单位的速度向右移动，与此同时线段 $A_{1} B_{1}$ 从 $A B$ 出发以每秒2个单位的速度向左移动.连结 $B_{1} C_{1}$ ，新长方形 $O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ 与原长方形 $O A B C$ 重叠部分的面积记为 $S$ ，设运动时间为 $t$ .

(1)、当 $A_{1}$ 在O、A之间，用含 $t$ 的代数式表示 $O A_{1}$ ：.

(2)、 $S$ 恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点 $A_{1}$ 表示的数是多少?

(3)、长方形 $O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ 与长方形 $O A B C$ 未重叠部分的面积记为 $S^{^{'}}$ ，请直接写出 $S^{^{'}} = 3 S$ 时， $t$ 的值.

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31. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：

(1)、如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为 $(a + b)$ 的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：；

(2)、根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：；

(3)、若 $a + b = 6$ ， $a b = 8$ ，求图2中阴影部分的面积．

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	A	B	C	合计
周六的销售量		y		30
周日的销售量	x	2y	4x	5x+2y
合计	10	3y		30+5x+2y

2024年人教版中考数学二轮复习 专题2 整式与因式分解

一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、实践探究题

六、综合题

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