广东省江门市2023-2024学年高二上学期调研测试（一）（1月期末）数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 过点 $(- 2 ， 0)$ 与 $y = x$ 平行的直线方程是（）

A、 $x - y - 2 = 0$ B、 $x + y + 2 = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $x + y - 2 = 0$

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2. 方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 1 - m = 0$ 表示一个圆，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， - 1)$ B、 $(- 1 ， + ∞)$ C、 $(- ∞ ， - 2)$ D、 $(- 2 ， + ∞)$

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3. 若 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， - 1) ， \vec{b} = (1 ， 3 ， - 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、-8 B、-10 C、8 D、10

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4. 已知等差数列 $- 1 ， - 3 ， - 5 ， ⋯$ 的前 $n$ 项和为-196，则 $n$ 的值为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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5. 两条直线 $y = k x$ 和 $y = - k x$ 分别与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于不同于原点的 $A ， B$ 两点，当直线 $A B$ 经过抛物线的焦点时，则 $| A B |$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 $π$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $C$ 的对称轴为坐标轴，面积为 $4 \sqrt{2} π$ ，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，或 $\frac{y^{2}}{8} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，或 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{2} = 1$

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7. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， + ∞)$ B、 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， \sqrt{3})$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$

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8. 已知 $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心， $E ， F$ 分别为 $B C ， A D$ 的中点，若将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 翻折，使得二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $6 0^{∘}$ ，则此时 $c o s ∠ E O F$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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二、/span>､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 4) ， C (2 ， 4) ， O (0 ， 0)$ ，则（）

A、直线 $A C$ 的倾斜角不存在 B、直线 $O C$ 与直线 $A B$ 的倾斜角相等 C、直线 $O C$ 与直线 $A B$ 的斜率之和为0 D、点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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10. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E ， F ， G ， H$ 分别是 $A B ， B C ， C D ， D A$ 的中点， $M$ 是 $E G$ 和 $F H$ 的交点， $O$ 为空间中任意一点，则（）

A、 $E ， F ， G ， H$ 四点共面 B、 $\vec{E G} \cdot \vec{F H} = 0$ C、 $\vec{E H}$ 为直线 $B D$ 的方向向量 D、 $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d ， a_{5} = a_{1} - 8 ， S_{10} = 10$ ，则（）

A、 $a_{1} = 10$ B、 ${a_{n}}$ 为递减数列 C、若 $S_{n} < 0$ ，则 $n \geq 15$ ，且 $n \in N$ D、当 $n = 5$ 或 $n = 6$ 时， $S_{n}$ 取得最大值

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l ： x = - 1$ ，过 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M ， \vec{M A} = λ_{1} \vec{A F} ， \vec{M B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，则（）

A、 $△ A B O$ 的面积的最大值为2 B、 $y_{1} y_{2} = - 4$ C、 $x_{1} x_{2} = 1$ D、 $λ_{1} + λ_{2} = 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 直线 $\sqrt{3} x - y = 0$ 被圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为.

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14. 写出一个与双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有相同渐近线，且焦点在 $y$ 轴上的双曲线方程为.

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15. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第 $n$ 层货物的个数为 $a_{n}$ ，则数列 ${\frac{n}{(n + 4) a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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16. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，动点 $P$ 在线段 $A B_{1}$ 上，则 $△ P B C_{1}$ 面积的最小值为.

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四、/span>､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， b_{1} = 1 ， a_{2} + b_{2} = 3 ， a_{3} + b_{3} = 4$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = q^{a_{n}} ， T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ .

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18. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱垂直于底面， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ .

(1)、求证： $A B ⊥ A C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A C = \frac{1}{2} A A_{1}$ ，求异面直线 $C B_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值.

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19. 已知动点 $M$ 与定点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离和它到定直线 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是常数 $\sqrt{3}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x - 1$ 与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，求 $k$ 的值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $△ P A D$ 是正三角形， $∠ A B C = \frac{2 π}{3} ， E$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ P E$ ；

(2)、求平面 $E P C$ 与平面 $D P C$ 夹角的余弦值.

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21. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{4}{d_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A ， B$ ，过右焦点 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于 $M ， N$ （异于 $A ， B$ ）两点.

(1)、若直线 $M N$ 的斜率为1，求 $| M N |$ ；

(2)、若直线 $A M$ 与直线 $x = 4$ 相交于点 $T (4 ， t)$ ，求证： $T ， B ， N$ 三点共线.

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