广东省东莞市2023-2024学年高二（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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2. 若直线 $l$ 的一个方向向量 $\vec{n} = (1 ， - \sqrt{3})$ ，则 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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3. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (2，3 ， - 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (4 ， k ， 2)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $6$ D、 $- 6$

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4. 已知点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，且点 $P$ 与点 $A (3，0)$ 的距离和点 $P$ 到直线 $x = - 1$ 的距离相等，则 $| P A | =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（）

A、 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ B、 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}$
C、 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c}}$ D、 ${\vec{a} - \vec{b} ， \vec{b} - \vec{c} ， \vec{c} - \vec{a}}$

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6. 东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥 $($ 如图 $)$ 的跨度 $A B$ 约为 $126$ 米，拱高 $O P$ 约为 $9$ 米，该拱桥每隔约 $7$ 米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与 $O P$ 相距 $35$ 米的吊杆 $M N$ 的高度约为（）
$($ 参考数据： $\sqrt{494} \approx 22.23)$

A、 $7.3$ 米 B、 $6.3$ 米 C、 $5.3$ 米 D、 $4.3$ 米

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且该双曲线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 在第二象限的交点为点 $P$ ，若 $t a n ∠ P F_{1} F_{2} = 2$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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8. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列 $.$ 现对数列 $1$ ， $2$ 进行构造，第 $1$ 次得到数列 $1$ ， $3$ ， $2$ ；第 $2$ 次得到数列 $1$ ， $4$ ， $3$ ， $5$ ， $2$ ； $\dots$ 依次构造，记第 $n (n \in N^{*})$ 次得到的数列的所有项之和为 $T_{n}$ ，则 $T_{7} =$ （）

A、 $1095$ B、 $3282$ C、 $6294$ D、 $9843$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - n^{2} + 9 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $S_{n}$ 的最大值为 $\frac{81}{4}$ B、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列
C、 ${a_{n}}$ 是递减数列 D、 $a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} = 0$

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10. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 m y + m^{2} = 0$ 和圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 y - 12 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相离
B、若 $m = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程是 $x - y - 3 = 0$
C、若圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 外切，则 $m = 4 \sqrt{2} - 2$
D、若圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 内切，则 $m = - 2$

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11. 已知曲线 $C$ ： $x | x | + 4 y | y | = 4$ ，则（）

A、曲线 $C$ 在第一象限为椭圆的一部分 B、曲线 $C$ 在第二象限为双曲线的一部分 C、直线 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 与曲线 $C$ 有两个交点 D、直线 $y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x + 1$ 与曲线 $C$ 有三个交点

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12. 在如图所示的试验装置中， $A B C D$ 和 $A B E F$ 均为边长为 $1$ 正方形框架，且它们所在的平面互相垂直 $.$ 活动弹子 $M$ ， $N$ 分别在对角线 $A C$ ， $B F$ 上移动，且 $\vec{C M} = λ \vec{C A}$ ， $\vec{F N} = λ \vec{F B} (0 < λ < 1) .$ 则下列结论正确的是（）

A、 $\exists λ \in (0，1)$ ， $M N ⊥ A C$
B、 $\forall λ \in (0，1)$ ， $M N \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$
C、 $\forall λ \in (0，1)$ ， $M N / /$ 平面 $C E F$
D、 $\exists λ \in (0，1)$ ，平面 $M N B ⊥$ 平面 $M A F$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知空间两点 $A (1，2 ， 3)$ ， $B (2，4 ， 5)$ ，则与 $\vec{A B}$ 方向相同的单位向量的坐标是．

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 3 n + 2} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $10$ 项和为．

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15. 一条光线从点 $A (0，1)$ 射出，经直线 $y = x$ 反射后与圆 $C$ ： $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的方程可以为 $. ($ 写出满足条件的一条直线方程即可 $)$

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16. 在平面直角坐标系中有 $A (1，0)$ ， $B (- 1，0)$ ， $C (0，3)$ 三点，则同时满足条件： $① △ P A B$ 的周长为 $6$ ； $② △ P A C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的点 $P$ 的个数为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{B D_{1}}$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} D$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值．

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、经过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 作倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，求线段 $M N$ 的长．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 7$ ， $b_{1}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的等差中项， $a_{5}$ 是 $b_{1}$ 和 $b_{3}$ 的等比中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{2 n} + b_{2 n - 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 6$ ， $A D = 3$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点， $\vec{P B} = 3 \vec{P F}$ ．

(1)、证明 $A C / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求点 $A$ 到平面 $D E F$ 的距离．

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21. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $n a_{1} + (n - 1) a_{2} + \dots + a_{n} = 2 S_{n} - n (n \in N^{*}) .$

(1)、证明数列 ${S_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、求满足不等式 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \dots + \frac{n}{a_{n}} > 4 - \frac{n}{1012}$ 的 $n (n \in N^{*})$ 的最小值．

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22. 已知圆心为 $C$ 的动圆经过点 $(1，0)$ 且与直线 $x = - 1$ 相切，设圆心 $C$ 的轨迹为 $Γ$ ．

(1)、求轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、已知 $A (1，2)$ 为定点， $P$ ， $Q$ 为 $Γ$ 上的两动点，且 $A P ⊥ A Q$ ，求点 $A$ 到直线 $P Q$ 距离的最大值．

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