贵州省铜仁市2023-2024学年高二上学期期末质量监测试题数学

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若数列 ${a_{n}}$ 的前五项分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{5}{8}$ ， $\frac{7}{16}$ ， $\frac{9}{32}$ ，则下列最有可能是其通项公式的是（）

A、 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{2^{n}}$ B、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n}$ C、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{2^{n}}$ D、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 2}$

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2. 已知直线 $l$ ： $x + y - 2 = 0$ 和圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，若点 $P$ 在圆 $O$ 上运动，则其到直线 $l$ 的最短距离为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 在空间直角坐标系中，若 $\vec{m} = (1 ， 2 ， k)$ 对应点 $M$ ， $\vec{n} = (- k ， 2 ， 3 - k)$ ，若 $M$ 关于平面 $x O y$ 的对称点为 $(1 ， 2 ， - 1)$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、5 D、 $- 5$

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4. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，点 $M$ 是棱 $B C$ 上的点，且 $B M = 2 M C$ ，点 $N$ 是棱 $A D$ 的中点.若 $\vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A D}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z$ 为实数，则 $x + y + z$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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5. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，点 $M (3 ， \sqrt{15})$ 是 $C$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分別是两个焦点，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{15}$ B、 $8 \sqrt{15}$ C、16 D、32

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6. 与圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 及圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 10 x + 16 = 0$ 都外切的圆的圆心在（）

A、双曲线上 B、椭圆上 C、抛物线上 D、双曲线的一支上

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，m ， n ， p ， $q \in N^{*}$ ，则“ $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ ”是“ $m + n = p + q$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ （ $0 < n < 6$ ）与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{16 - a^{2}} = 1$ （ $0 < a < 4$ ）共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 引直线 $l$ 与双曲线左、右两支分别交于点 $M$ ， $N$ ，过 $O$ 作 $O A ⊥ l$ ，垂足为 $A$ ，且 $| O A | = a$ （ $O$ 为坐标原点），若 $t a n ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{4}{3}$ ，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率之和为（）

A、 $\frac{4 + 3 \sqrt{5}}{6}$ B、 $\frac{4 + 3 \sqrt{13}}{6}$ C、 $\frac{4 + 3 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{4 + 3 \sqrt{13}}{3}$

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二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知直线 $l_{1}$ ： $x c o s α + y s i n α + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x s i n α + y c o s α + 1 = 0$ ，其中 $α \in [0 ， π]$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $α = 0$ 或 $α = \frac{π}{2}$ 或 $α = π$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $α = \frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ C、直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 均与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切 D、直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的斜率一定都存在

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10. 以下四个命题为真命题的是（）

A、已知 $△ A B C$ 的周长为6，且 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，则动点 $C$ 的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ （ $x \neq \pm 2$ ） B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$ ， $A$ 是直线 $l$ 上的定点， $P$ 为直线外一点，且 $\vec{A P} = \vec{a}$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{{\vec{a}}^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{u})}^{2}}$ C、等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{4} = 4$ ， $a_{6} = 36$ ，则 $a_{5} = 12$ D、若圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）恰有三条公切线，则 $r = 4$

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11. 著名的冰雹猜想，又称角谷猜想，它是指任何一个正整数 $x$ ，若 $x$ 是奇数，则先乘以3再加上1；如果是偶数，就除以2.这样经过若干次变换后，最终一定得1，若 $x$ 是数列 $a_{n} = 3 n + 1$ 或 $b_{n} = 4 n$ 中的项，则下列说法正确的是（）

A、若 $x = a_{5}$ ，则需要4次变换得到1 B、若 $x = b_{5}$ ，则需要7次变换得到1 C、 ${a_{n}}$ 中的项变换成1的次数一定少于 ${b_{n}}$ 中的项变换成1的次数 D、存在正整数 $k$ ，使得 $a_{k}$ 与 $b_{k}$ 的变换次数相同

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为平面 $A B B_{1} A_{1}$ 上一动点，下列说法正确的有（）

A、若点 $P$ 在线段 $A_{1} B$ 上，则 $P D / /$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ B、存在无数多个点 $P$ ，使得平面 $A P C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ C、将 $△ C D C_{1}$ 以边 $C_{1} D$ 所在直线为轴旋转一周，在旋转过程中，三棱锥 $C - B D A_{1}$ 的体积为定值 D、若 $∠ P D C_{1} = ∠ B_{1} D C_{1}$ ，则点 $P$ 的轨迹为抛物线

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， x ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 2024$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 3^{n}$ ，则 $a_{4} =$ .

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15. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 1 = 0$ 的公共弦长为.

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，且过焦点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆与 $y$ 轴交于 $(0 ， 3)$ 和 $(0 ， - 1)$ 两点，则直线 $A B$ 的方程为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①垂直于直线 $3 x - 2 y + 4 = 0$ ；②平行于直线 $3 x - 2 y + 4 = 0$ ；③截距相等.
问题：直线 $l$ 经过两条直线 $x - y - 1 = 0$ 和 $x + y - 3 = 0$ 的交点，且 ▲ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 不过坐标原点 $O$ ，且与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $△ A O B$ 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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18. 已知圆心为 $M (- 2 ， - 1)$ 的圆经过点 $(1 ， 3)$ ，直线 $l$ ： $x + m y + m = 0$ .

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、写出直线 $l$ 恒过定点 $Q$ 的坐标，并求直线 $l$ 被圆 $M$ 所截得的弦长最短时 $m$ 的值及最短弦长.

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19. 如图，是抛物线型拱桥，当水面在 $l$ 时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米.

(1)、当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？

(2)、现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n (n + 1)$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 B C = 2 C C_{1} = 2$ ， $M$ 是对角线 $A C_{1}$ 上一动点（不含端点）， $N$ 是 $C D$ 的中点.

(1)、若 $A N ⊥ M N$ ，求三棱锥 $A - B M N$ 体积；

(2)、平面 $B M N$ 与平面 $A_{1} A D$ 所成角的余弦值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A N$ 与平面 $B M N$ 所成角的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C$ 的焦点坐标 $(0 ， \pm 1)$ ，且过点 $(\frac{3}{2} ， 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P$ ， $Q$ 关于原点对称点分别为 $M$ ， $N$ ，若 ${| P M |}^{2} + {| Q N |}^{2}$ 是一个与 $m$ 无关的常数，求此时的常数及四边形 $P Q M N$ 面积的最大值.

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

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