贵州省铜仁市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x | x > - 1} ， B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 1]$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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2. $c o s 300 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 命题 $p ： \forall x \in [- 1 ， 4] ， x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in [- 1 ， 4] ， x^{2} - 3 x - 4 > 0$ B、 $\exists x \in [- 1 ， 4] ， x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ C、 $\exists x \in [- 1 ， 4] ， x^{2} - 3 x - 4 > 0$ D、 $\forall x \in (- \infty ， - 1) ∪ (4 ， + \infty) ， x^{2} - 3 x - 4 > 0$

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4. 已知 $a = 3^{0.5} ， b = l o g_{3} 0.5 ， c = l o g_{3} 0.9$ ，则它们的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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5. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x)$ 的定义域是 $(- \infty ， + \infty)$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为减函数 D、 $f (x)$ 为奇函数

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6. 设函数 $f (x) = l n | x | - \frac{1}{x^{2}}$ ，则使得 $f (2 x) > f (x - 3)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， 3) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 3)$

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7. 设函数 $f (x) = s i n ω x$ ，若函数 $g (x) = f (x) - 1$ 在 $[0 ， π]$ 上恰有3个零点，则正实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{9}{2} ， \frac{13}{2})$ B、 $[\frac{9}{2} ， \frac{13}{2})$ C、 $(\frac{13}{2} ， \frac{17}{2})$ D、 $[\frac{13}{2} ， \frac{17}{2})$

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8. 当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时，不等式 $2 k x^{2} - k x - \frac{3}{8} < 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $[- 3 ， 0)$ C、 $(- 3 ， \frac{1}{8})$ D、 $(- 3 ， \frac{1}{8}]$

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二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列函数为偶函数的是（）

A、 $f (x) = x^{4} + c o s x$ B、 $f (x) = x^{5} + a s i n x$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x$ D、 $f (x) = x^{2} + | x | + 2$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b \leq - 2$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 1$ D、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$

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11. 如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数 $y = A c o s (ω x + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ ，则（）

A、 $ω = \frac{π}{8}$ B、 $A = 20$ C、 $φ = \frac{π}{4}$ D、这段曲线的解析式是 $y = 20 c o s (\frac{π}{8} x + \frac{π}{4}) + 10$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3 ， x \leq 0 ， \\ l n x ， x > 0 ， \end{array}$ 设 $f (x) = k$ 的实数解个数为 $t$ ，则（）

A、当 $t = 1$ 时， $k \in (- \infty ， - 4]$ B、当 $t = 2$ 时， $k \in (- 3 ， + \infty)$ C、当 $t = 3$ 时， $k \in (- 4 ， - 3]$ D、函数 $f (x)$ 的值域为 $R$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知 $c o s (α - 45 °) = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (45 ° + α) =$ ．

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14. 函数 $y = \frac{x}{x^{2} - 2 x + 4} (x > 0)$ 的最大值为．

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15. 将函数 $y = 2 c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式是．

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16. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图象的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数”，由此可得函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2}$ 图象的对称中心是．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 5}$ ，集合 $B = {x | 1 + m \leq x \leq 2 - m}$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $A ∪ ∁_{R} B$ ；

(2)、若集合 $A ， B$ 满足条件：① $A ∪ B = B$ ；② $A ∩ B = A$ ；③ $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数 $m$ 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

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18.

(1)、计算 ${(2 \frac{7}{9})}^{\frac{1}{2}} - (\sqrt[3]{5})^{- 3} + l o g_{2} \sqrt[3]{2} + e^{l n 3}$ ．

(2)、某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 $0.1 %$ ，而这种溶液最初的杂质含量为 $3 %$ ，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 $\frac{1}{3}$ ，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据： $l g 2 \approx 0.301 ， l g 3 \approx 0.477$ ）．

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19.

(1)、计算 $t a n 70 ° c o s 10 ° (\sqrt{3} t a n 20 ° - 1)$ ．

(2)、已知 $c o s α = \frac{1}{7} ， c o s (α + β) = - \frac{11}{14}$ ，且 $α ， β \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $β$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x + \sqrt{3} s i n^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期及单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值、最小值．

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21. 已知 $f (x) = 2^{x} + b \cdot 2^{- x}$ 是奇函数， $g (x) = l n (e^{x} + 1) - a x$ 是偶函数．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (g (x)) > f (m - x)$ 恒成立，求 $x \in [0 ， + \infty)$ 时实数 $m$ 的取值范围．

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