浙江省绍兴市2023-2024学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1 ， 3} ， B = {- 1 ， 1 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 1 ， 3}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${- 2 ， 1}$

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2. 设 $a ， b ， c \in R$ ，则“ $a = b$ ”是“ $a c = b c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $t a n α = 2$ ，且 $α$ 为第三象限角，则 $s i n α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4. 在同一直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x \geq 0)$ ， $g (x) = {log}_{a} x$ 的图象可能是（）．

A、 B、 C、 D、

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5. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上单调递减，且 $f (1) = - 2$ ，则满足 $- 2 \leq f (x + 1) \leq 2$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 1]$ B、 $[- 2 ， 0]$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $[0 ， 2]$

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6. 研究发现，㷊种病毒存活时间 $y$ （单位：小时）与环境温度 $t$ （单位： $℃$ ）满足函数类系： $y = e^{- k t + b}$ （ $k ， b$ 为常数）．若该种病毒在 $0 ℃$ 的存活时间为168小时，在 $2 0^{∘} C$ 的存活时间为42小时，则在 $30 ℃$ 的存活时间为（）

A、14小时 B、18小时 C、21小时 D、24小时

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7. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\sqrt{2}} ， b = l o g_{2} 3 ， c = l o g_{3} 4$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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8. 已知 $s i n (α + 2 β) = 3 s i n α$ ，则 $t a n α$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = s i n x$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = l g x$

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
$x$
1
2
3
4
$y$
136.13
15.52
$- 3.92$
10.88
则函数 $f (x)$ （）

A、在区间 $(1 ， 2)$ 内无零点 B、在区间 $(1 ， 2)$ 内可能有两个零点 C、在区间 $(2 ， 3)$ 内有零点 D、在区间 $(3 ， 4)$ 内可能有两个零点

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 满足 $f (\frac{π}{4}) = 1 ， f (\frac{3 π}{2}) = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调，则 $ω$ 的值可以是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、2 D、 $\frac{14}{5}$

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12. 已知实数 $x ， y ， z$ 满足 $3^{x} = 5^{y} - 2^{y} ， 5^{z} = 3^{y} + 2^{y}$ ，且 $x < y$ ，则（）

A、 $z > y$ B、 $0 < y < 1$ C、 $x + z > 2 y$ D、 $x + z < 2 y$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} ， x \leq 0 ， \\ \sqrt{x} ， x > 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ ．

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14. 已知一个扇形圆心角的弧度数为2，其所在圆的半径为1，则该扇形的弧长是．

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15. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x + 2 y = x y$ ，则 $\frac{1 + (2 x + y)^{2}}{2 x + y}$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (a | x | - 1) - 1$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 内没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2} ， B = {x | x - a > 0}$ ．

(1)、求集合 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x + c o s^{2} x$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{x + 1} (x > - 1)$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求不等式 $f (2^{x}) > 0$ 的解集；

(2)、当 $a > - 1$ 时，证明： $f (x) \leq \frac{a + 1}{4} x - \frac{3 a - 1}{4}$ ．

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20. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今仍被沿用．如图1，筒车借助湍急水流的冲力旋转，当盛水筒转到一定位置时，开始倒水入槽．如图2，一个半径为4米的筒车按逆时针方向以每分钟1.5图匀速转动，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒 $P$ （视为质点）距离水面的相对高度为 $h$ （单位：米）（ $P$ 在水面下则 $h$ 为负数），以盛水筒 $P$ 刚浮出水面开始计时，则 $h$ 与时间 $t$ （单位；秒）之间的关系为 $h = A s i n (ω t + φ) + k (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ．

(1)、求 $A ， ω ， φ ， k$ 的值；

(2)、求盛水筒 $P$ 从刚浮出水面至旋转到最高点所需的最短时间；

(3)、若盛水筒 $P$ 从刚浮出水面至开始倒水入槽需用时10秒，求盛水筒 $P$ 开始倒水入槽时， $P$ 距离水面的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (a^{x} + 1) - x$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）为偶函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0 ， π] ， \exists x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，使 $s i n^{2} x_{1} + m c o s (\frac{π}{2} - x_{1}) + \frac{1}{4} - \frac{1}{m} \geq f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，记关于 $x$ 的不等式 $| f (x) | \leq 1$ 的解集为 $M$ ．

(1)、若 $a = 1 ， b = - 12 ， c = 35$ ，求 $M$ 中整数的个数；

(2)、当 $a > 2$ 时，证明： $M$ 中至多有两个整数．

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$x$	1	2	3	4
$y$	136.13	15.52	$- 3.92$	10.88