浙江省台州市2023-2024学年高一上学期数学1月期末试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若幂函数 $f (x) = x^{x}$ 的图象过点 $(4 ， 2)$ ，则 $f (3)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 函数 $f (x) = l g (x - 1)$ 的定义域是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $R$

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3. 下列函数在其定义域上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $f (x) = {l o g}_{2} x$ D、 $f (x) = t a n x$

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4. 若 $a > 0$ ， $b > 0 ，$ ， $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 1$ B、 $4 a b \leq 1$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 1$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 1$

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5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $y = |x| ， u = \sqrt{v^{2}}$ B、 $y = l n x^{2} ， s = 2 l n t$ C、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} ， m = n + 1$ D、 $y = s i n (x + \frac{π}{2}) ， y = - c o s x$

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6. 已知 $t a n (α + β) = - 2$ ， $t a n (α - β) = 7$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{9}{13}$ D、 $- \frac{9}{13}$

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7. 已知 $l g 2 \approx 0.3010$ ，若 $2^{n} (n \in N)$ 是10位数，则 $n$ 的最小值是（）

A、29 B、30 C、31 D、32

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8. 已知函数 $f_{i} (x) = \frac{1}{m_{i} \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - n_{i})}^{2}}{2 m_{i}^{2}}} (m_{i} ， n_{i} \in R ， i \in {1 ， 2 ， 3})$ 部分图象如图所示，则（）

A、 $m_{1} = m_{2} ， n_{1} > n_{2}$ B、 $m_{1} > m_{2} ， n_{1} = n_{2}$ C、 $m_{3} > m_{1} ， n_{3} > n_{1}$ D、 $m_{3} > m_{2} ， n_{3} > n_{2}$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知 $a > b > c > 0$ ，则（）

A、 $a + c > b + c$ B、 $a c > b c$ C、 $\frac{a}{a + c} > \frac{b}{b + c}$ D、 $a^{x} < b^{c}$

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10. 已知函 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4}) c o s (x + \frac{π}{4}) + s i n x c o s x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、函数 $f (x)$ 在区 $[\frac{π}{8} ， \frac{5 π}{8}]$ 单调递减 D、函数 $f (x)$ 的最大值为1

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11. 定义域均为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ ，满足 $f (x) + g (x) = 2^{x} + c o s x$ ，则（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = m ， m \in R$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $g (x_{0}) = 0$ C、 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) - g (x) < 1$ D、 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) g (x) + f (- x) g (- x) = 0$

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12. 设 $n$ 是正整数，集合 $A = {α ∣ α = (x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}) ， x_{i} \in {- 1 ， 1} ， i = 1 ， 2 ， \dots ， n}$ .对于集合 $A$ 中任意元素 $β = (y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{n})$ 和 $γ = (z_{1} ， z_{2} ， \dots ， z_{n})$ ，记 $P (β ， γ) = y_{1} z_{1} + y_{2} z_{2} + \dots + y_{n} z_{n}$ ，
$M (β ， γ) = \frac{1}{2} (y_{1} + z_{1} + |y_{1} - z_{1}| + y_{2} + z_{2} + |y_{2} - z_{2}| + \dots + y_{n} + z_{n} + |y_{n} - z_{n}|)$ .则（）

A、当 $n = 3$ 时，若 $β = (1 ， 1) ， γ = (1 ， - 1 ， - 1)$ ，则 $M (β ， γ) = 2$ B、当 $n = 3$ 时， $P (β ， r)$ 的最小值为 $1 - 3$ C、当 $n = 6$ 时， $M (β ， γ) \geq P (β ， γ)$ 恒成立 D、当 $n = 6$ 时，若集合 $B \subseteq A$ ，任取 $B$ 中2个不同的元素 $β ， γ$ ， $P (β ， γ) \geq 2$ ，则集合 $B$ 中元素至多7个

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. $120^{\circ}$ 角是第象限角.

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14. 已知函数 $f (x) = a^{x} + 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过定点，则该定点的坐标是.

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15. 已知 $t a n α = 3$ ， $\frac{s i n (π - α) + s i n (\frac{π}{2} - α)}{c o s (π + α) c o s (\frac{π}{2} + α)}$ 的值为.

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16. 若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + |x - a| (a > 0)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最小值为1，则正实数 $a$ 的值为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 计算：

(1)、 $\sqrt[3]{{(π - 3)}^{3}} + 8^{\frac{2}{3}} - 2^{3} \times 2^{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $l g 4 + l g 25 - {l o g}_{2} 3 \times {l o g}_{3} 4$ .

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18. 已知 $A = {x ∣ (x - 1) (x - 3) < 0}$ ， $B = {x ∣ x > m}$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} s i n x + {c o s}^{2} \frac{x}{2} + m$ 的最大值为2.

(1)、求常数 $m$ 的值：

(2)、先将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的取值范围.

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20. 从① $f ({l o g}_{3} 2) = - \frac{1}{3}$ ；②函数 $f (x)$ 为奇函数；③ $f (x)$ 的值域是 $(- 1 ， 1)$ 这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题。
问题：已知函数 $f (x) = \frac{a}{3^{x} + 1} - 1 ， a \in R$ ，且 ▲ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a \cdot 3^{x} + 2) + f (9^{x} + m) \leq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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21. 如图是一种升降装置结构图，支柱 $O P$ 垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱 $O P$ 上，轨道最低点 $D$ ， $P D = 2$ ， $O D = \frac{1}{2}$ .液压杆 $O A$ 、 $O B$ ，牵引杆 $C A$ 、 $C B$ ，水平横杆 $A B$ 均可根据长度自由伸缩，且牵引杆 $C A$ 、 $C B$ 分别与液压杆 $O A$ 、 $O B$ 垂直.当液压杆 $O A$ 、 $O B$ 同步伸缩时，铰点 $A 、 B$ 在圆形轨道上滑动，铰点 $C 、 E$ 在支柱 $O P$ 上滑动，水平横杆 $A B$ 作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.

(1)、设劣弧 $\overset{⌢}{A D}$ 的长为 $x$ ，求水平横杆 $A B$ 的长和 $A B$ 离水平地面的高度 $O E$ （用 $x$ 表示）；

(2)、在升降过程中，求铰点 $C 、 E$ 距离的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 5 ， & x < 1 ， \\ x^{2} + \frac{2}{x} ， & x \geq 1 . \end{matrix}$

(1)、用单调性定义证明： $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、若函数 $y = f (x) - m (m \in R)$ 有3个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $\frac{x_{3} - x_{2}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ ，
①求证： ${(x_{3} + 1)}^{2} = 20 - 4 m$ ；
②求 $[10 x_{3}]$ 的值（ $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）.

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