浙江省台州市2023-2024学年高二上学期数学1月期末质量试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 直线 $y = 2 x - 1$ 的斜率等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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2. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{12} = 1 (m > 0)$ 的离心率为2，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、16

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3. 若空间向量 $a = (1 ， 0 ， 1) ， b = (2 ， 1 ， 2)$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $S_{5} = 35 ， a_{4} = 3 a_{1}$ ，则其公差 $d$ 为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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5. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，记 $\vec{A B} = a ， \vec{A D} = b ， \vec{A D_{1}} = c$ ，则 $\vec{D_{1} C} =$ （）

A、 $a + b - c$ B、 $- a + b + c$ C、 $- a + b + c$ D、 $- a - b + c$

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6. 人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = m$ （ $m$ 为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ， a_{n} 为偶数， \\ 3 a_{n} + 1 ， a_{n} 为奇数. \end{array}$ 若 $a_{5} = 1$ ，则 $m$ 所有可能的取值的和为（）

A、16 B、18 C、20 D、41

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $A$ ， $B$ 两点在抛物线 $C$ 上，并满足 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $M$ ，若 $|F M| = 1$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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8. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \vec{B C} \cdot \vec{C D} = \vec{C D} \cdot \vec{D A} = \vec{D A} \cdot \vec{A B}$ ，则下列结论中不一定正确的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{B C} = - (\vec{C D} + \vec{D A})$ B、 $A B^{2} + B C^{2} = C D^{2} + D A^{2}$ C、 $△ A B D ≅ △ D C A$ D、 $A C ⊥ B D$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}} (n \in N^{*})$ 是等比数列，则下列结论中正确的是（）

A、 ${a_{n}^{2}}$ 是等比数列 B、 ${a_{n} + b_{n}}$ 一定不是等差数列 C、 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 是等比数列 D、 ${a_{n} + b_{n}}$ 一定不是等比数列

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10. 已知 $a > - 4$ 且 $a \neq 0$ ，曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4 + a} + \frac{y^{2}}{a} = 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、当 $a > 0$ 时，曲线 $C$ 是椭圆 B、当 $- 4 < a < 0$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 C、当 $a > 0$ 时，曲线 $C$ 的焦点坐标为 $(0 ， 2) ， (0 ， - 2)$ D、当 $- 4 < a < 0$ 时，曲线 $C$ 的焦点坐标为 $(- 2 ， 0) ， (2 ， 0)$

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11. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E ， F ， G ， H$ 分别是 $A B ， B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点， $E G$ ， $F H$ 相交于点 $M$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A C / /$ 平面 $E F G H$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $\vec{A M} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ D、若 $S ， T$ 分别为 $A C$ ， $B D$ 的中点，则 $M$ 为 $S T$ 的中点

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12. 已知 $S = {(x ， y) ∣ {(x - 2)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 1 ， y \geq 0} \cup {(x ， y) ∣ {(x - 2)}^{2} + {(y + m)}^{2} = 1 ， y \geq 0}$ ， $T = {(x ， y) | y = \frac{1}{2} x}$ ， $P = S \cap T$ ，则下列结论中正确的是（）

A、当 $m = \frac{1}{2}$ 时， $S \cap {(x ， y) ∣ y = 0} = {(2 - \frac{\sqrt{3}}{2} ， 0) ， (2 + \frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)}$ B、当 $m = 2$ 时， $P$ 有2个元素 C、若 $P$ 有2个元素，则 $\frac{\sqrt{5}}{2} - 1 < m < \frac{\sqrt{5}}{2} + 1$ D、当 $0 < m < \frac{\sqrt{5}}{2} - 1$ 时， $P$ 有4个元素

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 点 $(1 ， 2)$ 到直线 $3 x + 4 y - 6 = 0$ 的距离为.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ . $P$ 为椭圆上的点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ， $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则椭圆的离心率等于_.

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15. 已知数列 ${\frac{2^{n} + 1}{(2^{n} + n) (2^{n + 1} + n + 1)}} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .当 $S_{n} > \frac{17}{60}$ 时， $n$ 的最小值是_.

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16. 已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = 4 y$ 和 $C_{2} ： x^{2} = - 8 y$ .点 $P$ 在 $C_{2}$ 上（点 $P$ 与原点不重合），过点 $P$ 作 $C_{1}$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，直线 $A B$ 交 $C_{2}$ 于 $C ， D$ 两点，则 $\frac{|A B|}{|C D|}$ 的值为_.

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四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知圆 $C$ 经过原点及点 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 2 \sqrt{3})$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过原点的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $P ， Q$ 两点，若 $|P Q| = 2$ ，求直线 $l$ 的方程.

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18. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 是公比不为1的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $3 a_{1} ， 2 a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列， $S_{3} = 26$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (n + \frac{1}{2}) a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ .从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线 $A B$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ；
②平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求 $A A_{1}$ 的长度；

(2)、 $E$ 是线段 $B D_{1}$ （不含端点）上的一点，若平面 $A_{1} C_{1} E ⊥$ 平面 $A D E$ ，求 $\frac{B E}{B D_{1}}$ 的值.

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20. 如图，圆 $C$ 的半径为4， $A$ 是圆内一个定点且 $|C A| = 2$ ， $P$ 是圆 $C$ 上任意一点，线段 $A P$ 的垂直平分线 $l$ 和半径 $C P$ 相交于点 $Q$ ，点 $P$ 在圆上运动.

(1)、求点 $Q$ 的轨迹；

(2)、当 $C P ⊥ C A$ 时，证明：直线 $l$ 与点 $Q$ 形成的轨迹相切.

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21. 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为 $θ$ 的笔直公路，其中 $c o s θ = \frac{2}{7}$ .摩天轮近似为一个圆，其半径为 $35 m$ ，圆心 $O$ 到地面的距离为 $40 m$ ，其最高点为 $A$ . $A$ 点正下方的地面 $B$ 点与公路的距离为 $70 m$ .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）

(1)、如图所示，甲位于摩天轮的 $A$ 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？

(2)、当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，直线 $x = 2$ 交双曲线于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 2$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M (2 ， 3)$ ，过点 $T (t ， 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线交于 $P$ ， $Q$ 两点，且直线 $M P$ 与直线 $M Q$ 的斜率存在，分别记为 $k_{1} ， k_{2}$ .问：是否存在实数 $t$ ，使得 $k_{1} + k_{2}$ 为定值？若存在，则求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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