浙江省温州市2023-2024学年高一上学期数学期末（B）试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | 0 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x < 4}$ B、 ${x | 0 < x < 4}$ C、 ${x | 0 < x < 3}$ D、 ${x | 0 < x \leq 3}$

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3 ， - 4)$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $3$

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3. 命题“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ C、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$

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4. “ $a \geq - 3$ ”是“ $a \geq - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. “学如逆水行舟，不进则退 $；$ 心似平原跑马，易放难收”， $《$ 增广贤文 $》$ 是勉励人们专心学习的 $.$ 如果每天的“进步”率都是 $1 %$ ，那么一年后是 $(1 + 1 %)^{365} = 1 . 01^{365} ；$ 如果每天的“落后”率都是 $1 %$ ，那么一年后是 $(1 - 1 %)^{365} = 0 . 99^{365} .$ 一年后“进步”的是“落后”的 $\frac{{1.01}^{365}}{{0.99}^{365}} = (\frac{1.01}{0.99})^{365} \approx 1481$ 倍 $.$ 现假设每天的“进步”率和“落后”率都是 $20 %$ ，要使“进步”的是“落后”的 $100$ 倍，则大约需要经过天 $($ 参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771)$ （）

A、 $15$ B、 $11$ C、 $7$ D、 $3$

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6. 已知 $a = {l o g}_{3} 0.3$ ， $b = {l o g}_{4} 5$ ， $c = 2^{- 1}$ ，则它们的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式最有可能是（）

A、 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $f (x) = x \cdot s i n x$ C、 $f (x) = s i n x - x c o s x$ D、 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) l n | x |$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a$ 有两个大于 $1$ 的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 可以取到的值是（）

A、 $1$ B、 $5$ C、 $8$ D、 $10$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列说法正确的是（）

A、 $120^{\circ}$ 化为弧度是 $\frac{2 π}{3}$ B、若 $α \in (90^{\circ} ， 180^{\circ})$ ，则 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 C、当 $α$ 是第三象限角时， $t a n α < 0$ D、已知 $α = π$ ，则其终边落在 $y$ 轴上

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10. 设 $h (x) = 2^{x} + {l o g}_{2} (x + 1) - 2$ ，某同学用二分法求方程 $h (x) = 0$ 的近似解 $($ 精确度为 $0.5)$ ，
列出了对应值表如下：

$x$

$- 0.5$

$0.125$

$0.4375$

$0.75$

$2$

$h (x)$

$- 1.73$

$- 0.84$

$- 0.42$

$0.03$

$2.69$
依据此表格中的数据，方程的近似解 $x_{0}$ 不可能为（）

A、 $x_{0} = - 0.125$ B、 $x_{0} = 0.375$ C、 $x_{0} = 0.525$ D、 $x_{0} = 1.5$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{5 π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、 $f (x - \frac{5 π}{12})$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$

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12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 ， \\ | {l o g}_{2} x | ， x > 0 ， \end{array}$ 且 $3 f^{2} (x) - 4 a f (x) + 2 a + 3 = 0$ 有 $5$ 个零点，则 $a$ 的可能取值有（）

A、 $1$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- 3$ D、 $- 5$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知半径为 $1$ 的扇形，其圆心角为 $60^{\circ}$ ，则扇形的面积为.

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14. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f (f (16)) =$ .

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15. 已知 $s i n α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{6}) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x) \leq | f (\frac{π}{3}) |$ ，且在 $(\frac{3 π}{16} ， \frac{π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的取值集合为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知函数 $f (x) = l n \frac{x - 2}{2 x - 3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域 $；$

(2)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + {c o s}^{2} x - {s i n}^{2} x .$

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值 $；$

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的值域．

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19. 已知 $m = 4^{\frac{1}{2}} \times 2^{3}$ ， $n = \frac{1}{2} l g 2 + l g \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $m$ 和 $n$ 的值 $；$

(2)、已知 $t a n α = 2$ ，求 $\frac{s i n (m π + α) c o s (n π + α)}{t a n (π - α)}$ 的值．

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20. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ， $B = {x | (x - m^{2}) (x - m + 1) \leq 0}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求集合 $∁_{R} B ；$

(2)、当 $B \subseteq A$ 时，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 近年来，“无废城市”、“双碳”发展战略与循环经济的理念深入人心，垃圾分类政策的密集出台对厨余垃圾处理市场需求释放起到积极作用 $.$ 某企业响应政策号召，引进了一个把厨余垃圾加工处理为某化工产品的项目 $.$ 已知该企业日加工处理厨余垃圾成本 $y ($ 单位：元 $)$ 与日加工处理厨余垃圾量 $x ($ 单位：吨 $)$ 之间的函数关系可表示为：
$\{\begin{cases} 148 x + 6720, 0 ＜ x \leq 72 ， \\ \frac{3}{2} x^{2} + 9600, 72 ＜ x \leq 160 ， \end{cases}$

(1)、政府为使该企业能可持续发展，决定给于每吨厨余垃圾以 $260$ 元的补助，当日处理厨余垃圾的量在什么范围时企业不亏损 $?$

(2)、当日加工处理厨余垃圾量为多少吨时，该企业日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 $?$

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22. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - m 2^{x + 1} - m + 1 (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间 $；$

(2)、若函数 $y = h (x)$ 的定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $h (a + x_{0}) + h (a - x_{0}) = 2 b$ 成立，则称 $h (x)$ 为局部对称函数，其中 $(a ， b)$ 为函数 $h (x)$ 的局部对称点，若 $(1，2)$ 是函数 $f (x)$ 的局部对称点，求实数 $m$ 的取值范围．

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$x$	$- 0.5$	$0.125$	$0.4375$	$0.75$	$2$
$h (x)$	$- 1.73$	$- 0.84$	$- 0.42$	$0.03$	$2.69$