浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高三上学期数学1月期末试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x < 3}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{- x^{2} + 1}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 3}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | x \leq 1}$ D、 ${x | x < 3}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{1 + i}{z} = 1 - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 已知点 $A$ ， $B$ 在直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 上运动，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，点 $C$ 在圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为（）

A、 $5 + \sqrt{2}$ B、5 C、2 D、1

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5. 命题“ $\exists x \in [- 2 ， 1]$ ， $x^{2} - x - a > 0$ ”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq - \frac{1}{4}$ B、 $a \leq 0$ C、 $a \geq 6$ D、 $a \geq 8$

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6. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象.若 $y = g (x)$ 在 $(- m ， m)$ 上恰有三个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$ B、 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{13 π}{12}]$ C、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{13 π}{12}]$ D、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$

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7. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增长模型.已知1650年世界人口为5亿，当时这段时间的人口的年增长率为0.3%.根据模型预测（）年世界人口是1650年的2倍.（参考数据： $l g 2 = 0.301$ ， $l g 1.003 = 0.0013$ ）

A、1878 B、1881 C、1891 D、1993

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8. 已知 $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点，C上的A ， B两点关于原点对称，且 $| \vec{F A} | = 2 | \vec{F B} |$ ， $\vec{F A} \cdot \vec{F B} = 3 a^{2}$ ，则C的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论正确的有（）

A、相关系数 $| r |$ 越接近1，变量 $x$ ， $y$ 相关性越强 B、若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = 2 ξ + 1$ ，则 $D (η) = 2 D (ξ)) + 1$ C、相关指数 $R^{2}$ 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D、设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{5}{16}$

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10. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) = f (2 - x)$ ， $f (x) = - f (x + 2)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (2024) = 0$ C、 $f (x)$ 的最小值是 $- \frac{1}{8}$ D、方程 $f (x) = \frac{1}{8}$ 在区间 $[0 ， 2024]$ 内恰有1012个实数解

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，Q为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，P为线段 $C C_{1}$ 上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）

A、P为中点时， $| D P | + | P Q |$ 的值最小 B、不存在点P ，使得平面 $D P Q ∥$ 平面 $A B_{1} C$ C、P与端点C重合时，三棱锥 $D - P C_{1} Q$ 的外接球半径为 $\frac{3}{2}$ D、P为中点时，过D ， P ， Q三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面的周长为 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$

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12. 已知O为坐标原点，F为抛物线 $C$ ： $x = y^{2}$ 的焦点，过点F且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 交C于A、B两点（其中点A在第一象限），过线段 $A B$ 的中点P作垂直于抛物线准线的直线，与准线交于点N ，则下列说法正确的是（）

A、C的准线方程为 $y = - \frac{1}{4}$ B、 $∠ A N B = \frac{π}{2}$ C、三角形 $O A B$ 的面积 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $| F A | = 3 | F B |$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知随机变量 $X ~ N (0 ， σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 0) = a$ ，则 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为.

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ 的图象在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $3 x - y - 2 = 0$ ，则 $a - b =$ .

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15. 已知 $a + 2^{a} = l o g_{2} b + b = 3$ ，求 $2^{a + b} =$ .

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16. 已知高为2的圆锥内接于球O ，球O的体积为 $36 π$ ，设圆锥顶点为P ，平面 $α$ 为经过圆锥顶点的平面，且与直线 $P O$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，设平面 $α$ 截球O和圆锥所得的截面面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中， $2 (A + B) = C$ ， $s i n (A - C) = - 2 s i n B$ .

(1)、求A；

(2)、已知M为直线 $B C$ 上一点， $A M = \sqrt{19}$ ， $\vec{C M} = 2 \vec{M B}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - n$ ， $n \in N^{*}$ ，

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - n - 1$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 为等比数列；

(2)、若 $c_{n} = (2 n + 1) \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图所示，在多面体 $M N A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，其对角线的交点为 $Q$ ， $B N ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D M ∥ B N$ ， $D M = 2 B N = 2$ ，点P是棱 $D M$ 上的任意一点.

(1)、求证： $P Q ⊥ A C$ ；

(2)、求直线 $C N$ 和平面 $A M N$ 所成角的正弦值.

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20. 杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
场次
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
获胜概率
$\frac{4}{5}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{2}$

(1)、求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；

(2)、由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - a + \frac{1}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{- a}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $A (- 2 ， 0)$ 是C的左顶点，过点A且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的直线交直线 $x = a$ 上一点M ，已知 $△ M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形， $∠ F_{1} F_{2} M = 120 °$ .

(1)、求C的方程；

(2)、在直线 $y = m$ 上任取一点 $P (t ， m)$ ，直线 $l$ ： $y = \frac{t}{2} x + 1$ 与直线 $O P$ 交于点Q ，与椭圆C交于D ， E两点，若对任意 $t \in R$ ， $| D Q | = | E Q |$ 恒成立，求m的值.

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场次	第一场	第二场	第三场	第四场	第五场
获胜概率	$\frac{4}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{2}$