浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集 $U - Z$ ，集合 $A = {x | x = 3 k - 1 ， k \in Z}$ ， $B = {x | x = 6 k - 1 ， k \in Z}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A = B$ D、 $A \cap B =$ ∅

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2. 设 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $z = \frac{- 3 - 3 i}{1 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 3 i$ B、 $- 3$ C、 $3 i$ D、3

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (λ ， 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{4}{3}$ D、3

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4. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (0 < ω < 6)$ ，若 $f (\frac{π}{3}) = 3$ ，则 $f (- \frac{π}{3}) =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- 3$

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5. 图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似地看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知 $A D = 1$ ， $A B = 4$ ， $\vec{F G} = \frac{1}{3} \vec{D A}$ ，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9} + 8$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6} + 8$ C、 $\frac{11 \sqrt{3}}{18} + 12$ D、 $\frac{2}{9} \sqrt{3} + 12$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) f (x) f (y) = f (x + y) - f (x) - f (y)$ ， $f (1) = \sqrt{3}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) =$ （）

A、2024 B、 $1012 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、0

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7. 已知四边形ABCD的四个顶点在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，则“A ， B ， C ， D四点共圆”是“直线AC与BD倾斜角互补”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = a_{3} = 1$ ，令 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ ．若数列 ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{2^{2024} - 4}{7}$ B、 $\frac{2^{2024} + 3}{7}$ C、 $\frac{2^{2024} + 4}{7}$ D、 $\frac{2^{2024} + 6}{7}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 某电商平台为了对某一产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：
单价x/元
8
8.5
9
9.5
10
销量y/万件
89
85
80
78
68
根据以上数据得到 $y$ 与 $x$ 具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程为 $\hat{y} = - 19.8 x + \hat{a}$ ，则（）

A、相关系数 $r > 0$ B、点 $(9 ， 80)$ 一定在经验回归直线上 C、 $\hat{a} = 258.2$ D、 $x = 9.5$ 时，对应销量的残差为 $- 7.9$

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10. 已知 $M$ 为直线 $x - y + 5 = 0$ 上的一点，动点 $N$ 与两个定点 $O (0 ， 0)$ ， $A (3 ， 0)$ 的距离之比为2，则（）

A、动点 $N$ 的轨迹方程为 $(x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ B、 $| M N | \geq 2 + \frac{9 \sqrt{2}}{2}$ C、 $| M N | + \frac{1}{2} | N O |$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ D、 $∠ A O N$ 的最大角为 $\frac{π}{6}$

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11. 对于任意实数 $x$ ， $[x]$ 表示为不超过 $x$ 的极大整数，如 $[- 1.2] = - 2$ ， $[1.3] = 1$ ，（）

A、若 $x \leq y$ 时，则 $[x] \leq [y]$ B、若 $x$ ， $y \in R$ ，则 $[x] + [y] \leq [x + y] \leq [x] + [y] + 1$ C、若 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ，则 $[n x] = n [x]$ D、若 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ，则 $[\frac{x}{n}] = [\frac{[x]}{n}]$

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12. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $\vec{A E} = m \bar{A B} (m > 0)$ ， $\vec{A F} = n \vec{A C} (n > 0)$ ， $\vec{A G} = t \vec{A A_{1}} (t > 0)$ ，平面EFG与直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 相交形成的截面为 $Ω$ ，则（）

A、存在正实数 $m$ ， $n$ ， $t$ ，使得截面 $Ω$ 为等边三角形 B、存在正实数 $m$ ， $n$ ， $t$ ，使得截面 $Ω$ 为平行四边形 C、当 $\frac{1}{m} + \frac{1}{t} = 1$ ， $n \in (0 ， 1)$ 时，截面 $Ω$ 为梯形 D、当 $m > 1$ ， $0 < n < 1$ ， $0 < t < 1$ 时，截面 $Ω$ 为梯形

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在 ${(3 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的展开式中，常数项为．（用数字作答）

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14. 若 $a$ ， $b > 0$ ，且 $l o g_{2} (a b) = l o g_{2} (a + b + 2) - 2$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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15. 若函数 $f (x) = e^{2} (2 x - 1) - b x + b$ 有两个零点，则正整数 $b$ 的最小值为．（其中 $e$ 是自然对数的底数，参考数据： $e^{\frac{1}{2}} \approx 1.65$ ， $e^{\frac{3}{2}} \approx 4.49$ ）

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为F ， P为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且 $∠ P A F = 15 °$ ，则 $∠ P F A =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $s i n (A - B) = s i n B + s i n C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， BC边上的中线 $A D = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{6} = 3 S_{3}$ ， $a_{3 n} = 3 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n - 1}}$ ，若 $T_{n} < λ$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最小值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D = A B = 2 B C = 4$ ， $∠ P A B = ∠ P C B = 90 °$ ， $∠ B A D = 120 °$ ．

(1)、求证： $P A ⊥ C D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为12，求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．

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20. 已知A ， B分别为椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点，点 $P (2 ， \frac{\sqrt{5}}{3})$ ， $Q (- 1 ， - \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ 在椭圆 $E$ 上．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $M (2 ， 0)$ 且斜率不为零的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于C ， D两点，若直线AC与BD相交于点 $P$ ，求证：点 $P$ 在定直线上．

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21. 某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生中随机抽出的200名学生进行调查，调查中使用了两个问题．
问题1：你的学号是不是奇数？
问题2：你是否沉迷手机？
调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．

(1)、如果在200名学生中，共有80名回答了“是”，请你估计该城市沉迷手机的中学生所占的百分比．

(2)、某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝说后，该学生开始不玩手机．已知该学生第一天没有玩手机，若该学生前一天没有玩手机，后面一天继续不玩手机的概率是0.8；若该学生前一天玩手机，后面一天继续玩手机的概率是0.5．
（ⅰ）求该学生第三天不玩手机的概率P；
（ⅱ）设该学生第n天不玩手机的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{s i n x}{1 + c o s x}$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) - s i n x < 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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单价x/元	8	8.5	9	9.5	10
销量y/万件	89	85	80	78	68