浙江省嘉兴市重点中学2023-2024学年高三上学期数学1月第一次模拟测试试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 已知复数 $z = 1 + i + i^{2} + ⋯ + i^{2023}$ ，则 $| z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 已知集合 $A = {s i n \frac{k π}{4} | k \in N ，且 0 \leq k \leq 4}$ ，则集合 $A$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (0 ， 3)$ ，若实数λ满足 $(λ \vec{b} - \vec{a}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $- 1$ D、1

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4. 已知 $a = x + \frac{1}{x}$ ， $b = e^{x} + e^{- x}$ ， $c = s i n x + \sqrt{3} c o s x$ ，则下列结论错误的为（）

A、 $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ， $a > c$ B、 $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ， $b > c$ C、 $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ， $a < c$ D、 $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ， $b < c$

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5. 已知某物种 $t$ 年后的种群数量 $y$ 近似满足函数模型： $y = k_{0} \cdot e^{1.4 e - 0.125 t}$ （ $k_{0} > 0$ ，当 $t = 0$ 时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过 $n$ 年后 $(n \in N)$ ，当该物种的种群数量不足2023年初的 $10 %$ 时， $n$ 的最小值为（参考数据： $l n 10 \approx 2.3026$ ）（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = a_{3} = 1$ ，令 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ ．若数列 ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{2^{2024} - 4}{7}$ B、 $\frac{2^{2024} + 3}{7}$ C、 $\frac{2^{2024} + 4}{7}$ D、 $\frac{2^{2024} + 6}{7}$

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7. 正四面体的棱长为 $3$ ，点 $M$ ， $N$ 是它内切球球面上的两点， $P$ 为正四面体表面上的动点，当线段 $M N$ 最长时， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $3$ D、 $\frac{5}{2}$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点， $I$ ， $G$ 分别为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内心和重心，当 $I G ⊥ x$ 轴时，椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 下列说法正确的是（）

A、正切函数是周期函数，最小正周期为π B、正切函数的图象是不连续的 C、直线 $x = k π + \frac{π}{2} (k \in Z)$ 是正切曲线的渐近线 D、把 $y = t a n x ， x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 的图象向左、右平行移动 $k π$ 个单位，就得到 $y = t a n x$ $(x \in R ， x \neq k π + \frac{π}{2})$ 的图象

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10. 下列说法正确的是（）

A、事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥． B、若 $P (\bar{A}) = \frac{1}{3} ， P (\bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，且 $P (\bar{A B}) = \frac{1}{6}$ ，则事件A与事件B不是独立事件． C、若事件A ， B ， C两两独立，则 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ ． D、从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件 $A =$ {取出的两个球均为红色}， $B =$ {取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立．

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (\frac{1}{2} ， 0)$ ，经过点 $M (2 ， 1)$ 的直线l与C交于A ， B两点，且抛物线C在A ， B两点处的切线交于点P ， D为AB的中点，直线PD交C于点E ，则（）

A、点P在直线 $x - y + 1 = 0$ 上 B、E是PD的中点 C、 $| F A | \cdot | F B | = {| F P |}^{2}$ D、 $P D ⊥ y$ 轴

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - | 2 x + 1 | ， x < 0 \\ e^{x} - 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (f (x)) - f (x) - a$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时， $g (x)$ 有2个零点 B、当 $a = \frac{3}{2}$ 时， $g (x)$ 有2个零点 C、存在 $a \in R$ ，使得 $g (x)$ 有3个零点 D、存在 $a \in R$ ，使得 $g (x)$ 有5个零点

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. $(x + \frac{a}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中的常数项是120，则实数 $a =$ ．

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14. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 11 ， a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{985} =$ .

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15. 半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为．

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16. 对任意 $x \in (1 ， + \infty)$ ，函数 $f (x) = a^{x} l n a - a l n (x - 1) \geq 0 (a > 1)$ 恒成立，则a的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17. 已知在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{8} = 3 a_{3}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $2 S_{n} = 3 b_{n} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ $(n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $a = 3 \sqrt{2}$ ， $a s i n B = b s i n (A + \frac{π}{3})$ .

(1)、求角A；

(2)、作角A的平分线与 $B C$ 交于点 $D$ ，且 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ .

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19. 如图所示，已知 $△ A B C$ 是以 $B C$ 为斜边的等腰直角三角形，点 $M$ 是边 $A B$ 的中点，点 $N$ 在边 $B C$ 上，且 $B N = 3 N C$ ．以 $M N$ 为折痕将 $△ B M N$ 折起，使点 $B$ 到达点 $D$ 的位置，且平面 $D M C ⊥$ 平面 $A B C$ ，连接 $D A ， D C$ ．

(1)、若 $E$ 是线段 $D M$ 的中点，求证： $N E / /$ 平面 $D A C$ ；

(2)、求二面角 $D - A C - B$ 的余弦值．

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20. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ .已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；

(2)、记该同学第 $n (n \in N^{*})$ 天选择米饭套餐的概率为 $P_{n}$ ，
（i）证明： ${P_{n} - \frac{1}{2}}$ 为等比数列；
（ii）证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} < \frac{5}{9}$ .

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21. 已知 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上异于左、右顶点的一个动点，双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2} (3 ， 0)$ ．当 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的最小内角为 $30 °$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程．

(2)、连接 $P F_{1}$ ，交双曲线于另一点 $A$ ，连接 $P F_{2}$ ，交双曲线于另一点 $B$ ，若 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} A} ， \vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ．
①求证： $λ + μ$ 为定值；
②若直线AB的斜率为−1，求点P的坐标．

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22. 函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + \frac{3}{2} (a > 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求证： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ ；

(3)、求证：对于任意 $n \in N^{*}$ 都有 $2 l n (n + 1) + \sum_{i = 1} {(\frac{i - 1}{i})}^{2} > n$ .

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浙江省嘉兴市重点中学2023-2024学年高三上学期数学1月第一次模拟测试试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。