浙江省温州市名校2023-2024学年高三上学期数学1月第一次模拟试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共8小题，解小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、0 D、1

查看试题解析
2. 某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）

A、93 B、93.5 C、94 D、94.5

查看试题解析
3. 已知直线 $l ： y = 2 x + b$ 与圆 $C ： {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 有公共点，则b的取值范围为（）

A、 $[2 ， 12]$ B、 $(- ∞ ， 2] \cup [12 ， + ∞)$ C、 $[- 4 ， 6]$ D、 $(- \infty ， - 4] ∪ [6 ， + \infty)$

查看试题解析
4. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 为等边三角形，且 $A B = 3$ ， $P A = 2$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $12 π$

查看试题解析
5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} > 1$ ，公比为q ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则“ $0 < q < 1$ ”是“数列 ${T_{n}}$ 为递减数列”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (ω x - \frac{π}{4})$ ，其中 $ω > 0$ .若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $[\frac{3}{4} ， \frac{5}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{5}{3}]$ D、 $(0 ， 1]$

查看试题解析
7. 在直角梯形 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C / / A B$ ， $A D = D C = 1$ ， $A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，点 $P$ 在以A为圆心， $A D$ 为半径的圆弧 $D E M$ 上变动（如图所示），若 $\vec{A P} = λ \vec{E D} + μ \vec{A F}$ ，其中 $λ ， μ \in R$ ，则 $2 λ - μ$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2} ， 1]$ B、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

查看试题解析
8. 已知 $a = 1 0^{l g 4} ， b = 9^{l g 5} ， c = 8^{l g 6}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

查看试题解析

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列选项中，与“ $\frac{1}{x} > 1$ ”互为充要条件的是（）

A、 $x < 1$ B、 $l o g_{0.5} x^{2} > l o g_{0.5} x$ C、 $3^{x^{2}} < 3^{x}$ D、 $| x (x - 1) | = x (1 - x)$

查看试题解析
10. 设A ， B是一次随机试验中的两个事件，且 $P (\bar{A}) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (\bar{A} B + A \bar{B}) = \frac{7}{12}$ ，则（）

A、A ， B相互独立 B、 $P (\bar{A} + \bar{B}) = \frac{5}{6}$ C、 $P (B | A) = \frac{1}{3}$ D、 $P (\bar{A} | B) \neq P (\bar{B} | A)$

查看试题解析
11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 4$ ， $D$ 是棱 $A C$ 的中点， $E$ 是棱 $A B$ 上一点， $P D = P E = 2$ ， $A C ⊥$ 平面 $P D E$ ，则（）

A、 $D E / /$ 平面 $P B C$ B、平面 $P A C ⊥$ 平面 $P D E$ C、点 $P$ 到底面 $A B C$ 的距离为2 D、二面角 $D - P B - E$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

查看试题解析
12. 设 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线 $l ： 2 x - a y + 2 b = 0 (a \neq 0)$ 与 $C$ 的准线 $l_{1}$ ，交于点 $A$ ．已知 $l$ 与 $C$ 相切，切点为 $B$ ，直线 $B F$ 与 $C$ 的一个交点为 $D$ ，则（）

A、点 $(a ， b)$ 在 $C$ 上 B、 $∠ B A F < ∠ A F B$ C、以 $B F$ 为直径的圆与 $l$ 相离 D、直线 $A D$ 与 $C$ 相切

查看试题解析

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知 $p ： - 3 \leq x \leq 1$ ， $q ： x \leq a$ （a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p ，则实数a的取值范围是.

查看试题解析
14. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2 n}{n + 1} a_{n}$ ，则 $\frac{a_{10}}{a_{6}} =$ .

查看试题解析
15. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是直角三角形， $A C ⊥ B C$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A A_{1} = 4$ ．若平面 $α$ 将该直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为．

查看试题解析
16. 对任意 $x \in (1 ， + \infty)$ ，函数 $f (x) = a^{x} l n a - a l n (x - 1) \geq 0 (a > 1)$ 恒成立，求a的取值范围．

查看试题解析

四、解答题：木大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $c o s A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

(1)、求角 $B$ 及边 $b$ 的值；

(2)、求 $s i n (2 A - B)$ 的值.

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求使得 $T_{n} > \frac{2023}{2024}$ 成立的 $n$ 的最小值．

查看试题解析
19. 如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的三条侧棱 $O A ， O B ， O C$ 两两垂直，且长度均为2．E、F分别是 $A B ， A C$ 的中点，H是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 作平面与侧棱 $O A ， O B ， O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ ，已知 $O A_{1} = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求证： $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $O A H$ ；

(2)、求二面角 $O - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小．

查看试题解析
20. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.

(1)、随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；

(2)、已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.

查看试题解析
21. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < \sqrt{6})$ ， $P$ 是 $C$ 上一个动点，点 $A (1 ， 0)$ ， $P A$ 长的最小值为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ ．

(1)、求 $b$ 的值：

(2)、设过点 $A$ 且斜率不为0的直线 $l$ 交 $C$ 于 $B ， D$ 两点， $E ， F$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，直线 $B E$ 和直线 $D F$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

查看试题解析
22. 已知 $f (x) = 3 l n x - k (x - 1)$ .

(1)、若过点 $(2 ， 2)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，切线的斜率为2，求 $k$ 的值；

(2)、当 $x \in [1 ， 3]$ 时，讨论函数 $g (x) = f (x) - \frac{2}{π} c o s \frac{π}{2} x$ 的零点个数.

查看试题解析