广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 曲线 $y = e^{x}$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线的斜率为（）

A、0 B、1 C、e D、 $- 1$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2} ， M$ 是双曲线左支上的一点，且 $| M F_{1} | = 7$ ，则 $| M F_{2} | =$ （）

A、1 B、13 C、1或13 D、3

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 3 ， a_{3} + a_{4} = 12$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （）

A、24 B、36 C、48 D、108

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - 3$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $a_{n} = 3^{n}$ B、 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ C、 $a_{n} = 6 \cdot 3^{n}$ D、 $a_{n} = 6^{n}$

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6. 已知 $A (1 ， 1 ， 1) ， B (1 ， 0 ， 1) ， \vec{B C} = (1 ， - 1 ， 1)$ ，则点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过点 $F$ ，并且与抛物线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $M$ ，与抛物线的准线交于点 $N$ ，若 $\vec{A F} = 2 \vec{M N}$ ，则 $k =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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8. 过点 $(1 ， a)$ 可以做三条直线与曲线 $y = x e^{x}$ 相切，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{5}{e^{2}} ， 0)$ B、 $(- \frac{5}{e^{2}} ， e)$ C、 $(- \frac{5}{e^{2}} ， - \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$

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二、多选题

9. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - 2 n^{2} + 15 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是递减数列 B、 $a_{10} = - 23$ C、当 $n > 3$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 4$ 时， $S_{n}$ 取得最大值

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10. 若焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4 - λ} + \frac{y^{2}}{λ - 2} = 1$ 的焦距为4，则下列结论正确的是（）

A、 $λ = 1$ B、 $λ = 5$ C、离心率是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、两条渐近线的夹角为 $6 0^{∘}$

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P$ 是直线 $l ： x - y - 2 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ 和 $B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则这样的点 $P$ 只有一个 B、四边形 $A O B P$ 面积的最小值为1 C、直线 $A B$ 恒过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ D、平面内存在一定点 $Q$ ，使得线段 $Q M$ 的长度为定值

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 为底面正方形 $A B C D$ 上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（）

A、直线 $A B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若点 $F$ 为 $B_{1} C$ 中点，点 $M$ 为 $A_{1} D$ 中点，则直线 $C M$ 和 $A F$ 夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ C、若 $∠ P D_{1} D = 30 °$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C_{1}}$ 的最小值为 $\frac{4 - \sqrt{15}}{3}$ D、若点 $E$ 在 $B D$ 上，点 $F$ 在 $C B_{1}$ 上，则 $E F$ 的长度最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 1) ， \vec{b} = (- 4 ， x ， - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为.

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14. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{4} + a_{8} = 10 ， a_{5} = 4$ ，则 $a_{7} =$ .

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15. 已知 $F$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点， $P$ 是椭圆上一动点，点 $M$ 为圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上一动点，则 $| P M | + | P F |$ 的最大值是.

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16. 已知矩形 $A B C D$ 中 $A B = \sqrt{2} ， B C = 1$ ，将矩形沿着对角线 $B D$ 对折，形成一个空间四边形 $A B C^{'} D$ ，当 $A C^{'} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，二面角 $A - B D - C^{'}$ 的余弦值为.

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四、解答题

17. 已知圆 $C$ 经过 $A (5 ， 1) ， B (- 1 ， - 7)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $l ： x + y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l_{0}$ 被圆 $C$ 截得的弦长为8，求直线 $l_{0}$ 的方程.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 6 \cdot 2^{n} ， a_{1} = 4$ .

(1)、证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 为等差数列，并求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并求出 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a x^{2} + 3 x$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A ⊥ C D ， A D / / B C ， A D ⊥ A B$ ， $S B = S D ， A B = A D$ .

(1)、求证： $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $S A = A B = A D = 1 ， B C = 2 ， \vec{S N} = λ \vec{S C} (0 < λ < 1)$ ，若平面 $B D N$ 与平面 $S D C$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $P (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，左焦点为 $F (- \sqrt{3} ， 0)$ ，过点 $N (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，动点 $M$ 在直线 $x = 4$ 上，直线 $A M 、 B M 、$ $N M$ 的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2} 、 k_{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、问是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k_{3}$ 恒成立，如果存在，请求出 $λ$ 的值，如果不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a x + l n x + 1 ， a \in R$ .

(1)、证明：当 $a \leq - 1$ 时， $f (x) \leq 0$ ；

(2)、若 $f (x) \leq x e^{2 x}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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