广东省茂名市2023-2024学年高三一模数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $C = A ∩ B$ ，则集合 $C$ 的子集个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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2. “ $x < 1$ ”是“ $x^{2} - 4 x + 3 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（）

A、33 B、45 C、84 D、90

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4. 曲线 $f (x) = e^{x} + a x$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线与直线 $y = 2 x$ 平行，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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5. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ，交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = | F_{1} F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2} - 1$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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6. 函数 $y = f (x)$ 和 $y = f (x - 2)$ 均为 $R$ 上的奇函数，若 $f (1) = 2$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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7. 若 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ ， $6 t a n (\frac{π}{4} + α) + 4 c o s (\frac{π}{4} - α) = 5 c o s 2 α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 8$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{n a_{n} + 1}$ （ $n \in N^{*}$ ）， $b_{n} = (\frac{1}{a_{n}} + λ) \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 是递减数列，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{8}{7} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{7}{8} ， + \infty)$ C、 $(\frac{8}{7} ， + \infty)$ D、 $(\frac{7}{8} ， + \infty)$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 若 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 1$ 是区间 $(m - 1 ， m + 4)$ 上的单调函数，则实数 $m$ 的值可以是（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、3 D、4

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10. 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ ，交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、以 $A B$ 为直径的圆与 $C$ 的准线相切 C、若 $| A B | = 5$ ，则线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{3}{2}$ D、若 $| A B | = 4$ ，则直线 $l$ 有且只有一条

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B$ ， $B C$ 的中点，则（）

A、直线 $E F$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为60° B、过空间中一点有且仅有两条直线与 $A_{1} B_{1} ， A_{1} D_{1}$ 所成的角都是60° C、过 $A_{1}$ ， $E$ ， $F$ 三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ D、过直线 $E F$ 的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形

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12. 从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字 $a$ ， $b$ ，记点 $A (a ， b)$ ， $B (1 ， - 1)$ ， $O (0 ， 0)$ ，则（）

A、 $∠ A O B$ 是锐角的概率为 $\frac{9}{20}$ B、 $∠ B A O$ 是锐角的概率为 $\frac{9}{100}$ C、 $△ A O B$ 是锐角三角形的概率为 $\frac{9}{100}$ D、 $△ A O B$ 的面积不大于5的概率为 $\frac{9}{20}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z} =$ .

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14. 如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半径都为 $a$ ，则上层的最高点离平台的距离为.

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15. 动点 $P$ 与两个定点 $O (0 ， 0)$ ， $A (0 ， 3)$ 满足 $| P A | = 2 | P O |$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ ： $m x - y + 4 - 3 m = 0$ 的距离的最大值为.

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16. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上有且只有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a c o s B - b c o s A - a + c = 0$ .

(1)、求 $B$ 的值；

(2)、若 $M$ 为 $A C$ 的中点，且 $a + c = 4$ ，求 $B M$ 的最小值.

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18. 已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位： $g$ ）将它们分成5组： $[360 ， 380)$ ， $[380 ， 400)$ ， $[400 ， 420)$ ， $[420 ， 400)$ ，得到如下频率分布直方图.

(1)、用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)、按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间 $[380 ， 400)$ ， $[400 ， 420)$ ， $[420 ， 400)$ 内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.
（ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；
（ⅱ）记这3个石榴中质量在区间 $[420 ， 400)$ 内的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{n (n + 1)}}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$ 、公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{(2 n - 1) a_{n}}{S_{n}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项积，证明： $\sum_{i = 1}^{n} T_{i} \leq \frac{6^{n} - 1}{5}$ ， $n \in N^{*}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P D = A B = 2 C D = 2$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $∠ P D C = 120 °$ .

(1)、证明： $P B ⊥ A D$ ；

(2)、点 $E$ 在线段 $P C$ 上，当直线 $A E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值.

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21. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ （ $a > 0$ ）的左焦点为 $F$ ， $A$ ， $B$ 分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $B$ 的直线与双曲线左支交于点 $P$ （异于点 $A$ ），直线 $B P$ 与直线 $l$ ： $x = - 1$ 交于点 $M$ ， $∠ P F A$ 的角平分线交直线 $l$ 于点 $N$ ，证明： $N$ 是 $M A$ 的中点.

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22. 若函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [a ， b]$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < k | x_{1} - x_{2} |$ ，则称 $f (x)$ 为 $[a ， b]$ 上的“ $k$ 类函数”.

(1)、若 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + x$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $[1 ， 2]$ 上的“3类函数”；

(2)、若 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - \frac{x^{2}}{2} - x l n x$ 为 $[1 ， e]$ 上的“2类函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 为 $[1 ， 2]$ 上的“2类函数”，且 $f (1) = f (2)$ ，证明： $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [1 ， 2]$ ， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 1$ .

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