北京市重点大学附属实验中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 设集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1} ， B = {x ∣ x^{2} < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 设 $a = l g 2 ， b = l g 4 ， c = l g 5$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $b = a^{2}$ B、 $a c = 1$ C、 $b + c = a + 1$ D、 $b + 2 c = 10$

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3. 若复数 $z = \frac{2 + a i}{2 - i}$ 纯虚数，其中 $a$ 为实数，则 $z$ 的虚部为（）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{6}{5}$ D、 $\frac{10}{3}$

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4. 已知直角三角形的面积为1，则关于该三角形的斜边，正确的结论是（）

A、最小值为2 B、最大值为2 C、最小值为 $\sqrt{2}$ D、最大值为 $\sqrt{2}$

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5. 将函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x) =$ （）

A、 $s i n 2 x$ B、 $- s i n 2 x$ C、 $c o s (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $c o s (2 x - \frac{π}{3})$

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6. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{4}{3} x$ ，则该双曲线（）

A、离心率为 $\frac{5}{4}$ ，焦距为10 B、离心率为 $\frac{5}{3}$ ，焦距为10 C、离心率为 $\frac{5}{4}$ ，焦距无法确定 D、离心率为 $\frac{5}{3}$ ，焦距无法确定

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7. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足： $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 单调递增， $f (2) = 0$ ， $f (- 1) = f (3) = 1 ，$ 则不等式 $- 1 < f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (2 ， 3)$ B、 $(- 3 ， - 2) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- 2 ， - 1) \cup (2 ， 3)$ D、 $(- 3 ， - 2) \cup (1 ， 2)$

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8. 设 ${a_{n}}$ 是无穷数列，记 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，则“ ${a_{n}}$ 是等比数列”是“ ${b_{n}}$ 是等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的8条棱长均相等， $O$ 为顶点 $S$ 在底面内的射影，则（）

A、侧棱 $S A$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的大小为 $\frac{π}{3}$ B、侧面 $S A B$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的大小为 $\frac{π}{4}$ C、设 $P$ 是正方形 $A B C D$ 边上的点，则直线 $S P$ 与底面所成角的最大值是 $\frac{π}{4}$ D、设 $M ， N$ 是正方形 $A B C D$ 边上的两点，则二面角 $S - M N - O$ 的值大于 $\frac{π}{4}$ .

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10. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，定点 $A$ 的坐标为 $(c o s θ ， s i n θ)$ ，其中 $0 ⩽ θ ⩽ π$ .若当点 $B$ 在圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ 上运动时， $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的最大值为0，则（）

A、 $θ = \frac{π}{3} ， \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的最小值为-2 B、 $θ = \frac{π}{3} ， \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的最小值为 $- \frac{3}{2}$ C、 $θ = \frac{2 π}{3} ， \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的最小值为-2 D、 $θ = \frac{2 π}{3} ， \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的最小值为 $- \frac{3}{2}$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4) ， \vec{b} = (1 ， 0)$ ，若 $(\vec{a} - k \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ .

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12. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 2 ， S_{5} = - 5$ ，则 $S_{9} =$ .

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13. 函数 $f (x) = s i n 2 x + 2 c o s x$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调递减区间为.

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14. 已知点 $M (x_{0} ， 2 \sqrt{3})$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，以 $M$ 为圆心作圆与抛物线 $C$ 的准线相切，且截得 $x$ 轴的弦长为4，则 $p =$ .

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15. 对于定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，及区间 $I_{1} ， I_{2} \subseteq R$ ，记 $S_{k} = {f (x) ∣ x \in I_{k}} (k = 1 ， 2)$ ，若 $S_{1} \cap S_{2} \neq \emptyset$ ，则称 $I_{1} ， I_{2}$ 为 $f (x)$ 的“ $ψ$ 区间对”.已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， & x ⩽ 0 ， \\ 2^{- x} + a ， & x > 0 ， \end{array}$ 给出下列四个结论：
①若 $(- ∞ ， 0]$ 和 $(0 ， + ∞)$ 是 $f (x)$ 的“ $ψ$ 区间对”，则 $a$ 的取值范围是 $(- ∞ ， 1]$ ；
②若 $(- ∞ ， 0]$ 和 $(0 ， + ∞)$ 不是 $f (x)$ 的“ $ψ$ 区间对”，则对任意 $m > 0 ， (- ∞ ， m]$ 和 $(m ， + ∞)$ 也不是 $f (x)$ 的“ $ψ$ 区间对”；
③存在实数 $x_{0}$ ，使得对任意 $a \in R ， (- ∞ ， x_{0}]$ 和 $(x_{0} ， + ∞)$ 都是 $f (x)$ 的“ $ψ$ 区间对”；
④对任意 $a \in R$ ，都存在实数 $x_{0}$ ，使得 $(- ∞ ， x_{0}]$ 和 $(x_{0} ， + ∞)$ 不是 $f (x)$ 的“ $ψ$ 区间对”；
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题（本大题共6小题，共85分）

16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (x - \frac{π}{4}) + 2 c o s x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及其图像的对称轴方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- π ， 0]$ 上的最大值和最小值.

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $b s i n A = c s i n C ， s i n B = 2 s i n A$ .

(1)、求 $c o s B$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = 3 \vec{B C}$ ，求 $A D$ 和 $s i n ∠ C A D$ 的值.

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18. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 2 ， A A_{1} ⊥ A B$ ，平面 $B_{1} B C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $M ， N ， P$ 分别为棱 $A_{1} C_{1} ， B B_{1} ， B C$ 的中点，如图.

(1)、求证： $M P$ $∥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ，
①求 $A_{1} P$ 与平面 $M P N$ 所成角的正弦值；
②求线段 $A P$ 在平面 $M P N$ 内的投影 $H P$ 的长.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，以椭圆 $C$ 的上､下顶点和右焦点 $F$ 为顶点的三角形的面积为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $A ， B$ ，直线 $O A ， O B$ 交直线 $x = 1$ 于点 $M ， N$ ，若 $△ A O B$ 与 $△ M O N$ 的面积相等，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = x e^{a x} - e^{2 a x} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的极大值点和极小值点的个数；

(3)、若对任意 $x ⩾ 0 ， f (x) ⩽ - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 设 $m$ 为给定的正奇数，定义无穷数列 $A_{m}$ ： $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} a_{n} & (a_{n} 为偶数) \\ a_{n} + m & (a_{n} 为奇数) \end{array} ，其中 n \in N^{*} .$ 若 $a_{k}$ 是数列 $A_{m}$ 中的项，则记作 $a_{k} \in A_{m}$ .

(1)、若数列 $A_{m}$ 的前6项各不相同，写出 $m$ 的最小值及此时数列的前6项；

(2)、求证：集合 $B = {k \in N^{*} ∣ a_{k} \in A_{m} ， a_{k} > 2 m}$ 是空集；

(3)、记集合 $S_{m} = {x ∣ x \in A_{m}} ， S = {x ∣ \forall$ 正奇数 $m ， x \in S_{m}}$ ，求集合 $S$ .
（若 $m$ 为任意的正奇数，求所有数列 $A_{m}$ 的相同元素构成的集合 $S$ .）

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