浙江省嘉兴市2023-2024学年高三上学期期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | | x + 1 | < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${0}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 已知 $z = \frac{4 + 3 i}{2 - i}$ ，则： $z \cdot z$ =（）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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3. 已知单位向量 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $({\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}) \cdot (3 {\vec{e}}_{1} - 4 {\vec{e}}_{2}) =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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4. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x + y - 1 = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于A ， B两点，则 $∠ A O B =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约己使用了（）

A、25.7m B、30.6m C、35.3m D、40.4m

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6. 已知函数 $y = f (2 x - 1)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 1)$ 对称，则下列函数是奇函数的是（）

A、 $y = f (2 x - 2) + 1$ B、 $y = f (2 x - 3) + 1$ C、 $y = f (2 x - 2) - 1$ D、 $y = f (2 x - 3) - 1$

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7. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，则“对任意正整数n ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 是递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知正实数a ， b ， c满足 $a^{2} - b = 2 l n \frac{a}{b} > 0$ ， $7^{b} - 2^{b} = {(a + 4)}^{c}$ ，则（）

A、 $0 < c < b < 1 < a$ B、 $0 < b < c < 1 < a$ C、 $0 < c < b < a < 1$ D、 $0 < b < c < a < 1$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（）

A、样本数据4，4，5，5，6，7，9的75%分位数为6 B、若随机变量 $ζ$ 满足 $E (ζ) = 2$ ，则 $E (2 ζ - 1) = 3$ C、若随机变量 $ζ$ 服从两点分布， $P (ζ = 0) = \frac{3}{4}$ ，则 $D (ζ) = \frac{3}{16}$ D、若随机变量X服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (1 < X < 2) = 0.3$ ，则 $P (X > 3) = 0.2$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n ϖ x + \sqrt{3} c o s ϖ x (ϖ > 0)$ 的图象的两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的值域为 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ D、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得函数图象关于y轴对称

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，点P满足 $\vec{D P} = λ \vec{D A} + μ \vec{D C}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时，存在点P ，使得 $B_{1} P ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、当 $μ = 1$ 时，不存在点P ，使得 $D_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ C、当 $λ$ ， $μ$ 满足 $λ^{2} = μ$ 时，点 $B_{1}$ 到平面 $P C_{1} D_{1}$ 的距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当 $λ$ ， $μ$ 满足 $λ^{2} + μ^{2} = \frac{1}{4}$ 时，三棱锥 $P - A C D_{1}$ ，的体积的最小值为 $\frac{2 - \sqrt{2}}{12}$

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12. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ 是抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = - 4 x$ 上一点，过点P作抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 4 x$ 的两条切线PM ， PN ，切点分别为M ， N ， H为线段MN的中点，F为 $C_{2}$ 的焦点，则（）

A、若 $x_{0} = - 1$ ，则直线MN经过点F B、直线 $P H ⊥ y$ 轴 C、点H的轨迹方程为 $y^{2} = \frac{3}{4} x$ D、 $∠ P F M = ∠ P F N$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（用数字作答）．

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14. 已知 $s i n (θ - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (2 θ + \frac{π}{3}) =$ ．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P ， Q在C上且满足 $\vec{P F_{1}} = 3 \vec{F_{1} Q}$ ， $P Q ⊥ P F_{2}$ ，则C的离心率为．

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16. 已知圆锥 $Γ$ 的母线长与底面圆的直径均为 $4 \sqrt{3}$ ．现有一个半径为1的小球在 $Γ$ 内可向各个方向自由移动，则圆锥 $Γ$ 内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，其中 $s i n B = 2 s i n A$ ， $c = 2 a + 1$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，求a的取值范围．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 3$ ， $b_{2} = 9$ ， $3 b_{n} (a_{n} + 1) = 2 n b_{n + 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${b_{a_{n}}}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{m} \cdot T_{m + 1} = T_{m + 2}$ ，求m ．

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19. 等边三角形 $A B C$ 的边长为3，O ， P分别是边AB和AC上的点，且 $A P = 2 A O = 2$ ，如图1．将 $△ A O P$ 沿OP折起到 $△ A_{1} O P$ 的位置，连结 $A_{1} B$ ， $A_{1} C$ ．点Q满足 $\vec{A_{1} Q} = 2 \vec{Q C}$ ，且点Q到平面 $B C P O$ 的距离为 $\frac{1}{3}$ ，如图2．

(1)、求证： $P Q ∥$ 平面 $A_{1} B O$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} O P$ 夹角的余弦值．

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20. 某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出．现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为 $\frac{1}{2}$ ．若甲、乙正确回答每道题的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ ，每道题回答是否正确相互独立．

(1)、求第1题答完甲得1分的概率；

(2)、求第2题答完比赛结束的概率；

(3)、假设准备的问题数足够多，求甲最终胜出的概率．

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21. 已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是双线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右顶点， $| A_{1} A_{2} | = 2$ ，点 $A_{1}$ 到其中一条渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求双曲线C的方程：

(2)、过点 $P (- 1 ， 2)$ 的直线1与C交于M ， N两点（异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 两点），直线OP与直线 $A_{2} N$ 交于点Q ．若直线 $A_{1} M$ 与 $A_{1} Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试问 $k_{1} k_{2}$ 是否为定值？若是，求出此定值；否不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (a - m - 1) - a x l n x$ ．

(1)、若 $m = - 1$ 时， $y = f (x)$ 在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；

(2)、若 $a = 2$ ， $m < 0$ 时，函数 $y = f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $x_{2} - x_{1} < 3 (m + 1)$ ．

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