浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 4$ ，且满足 $a_{n + 1} = a_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、-11 B、-8 C、16 D、19

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2. 曲线 $y = x^{2} + \frac{3}{x}$ 在点 $(1 ， t)$ 处的切线的斜率 $k =$ （）

A、5 B、4 C、-1 D、-2

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3. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ .点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A ， N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）

A、24里 B、48里 C、96里 D、192里

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5. 原点到直线 $l ： λ x + y - λ + 1 = 0 (λ \in R)$ 的距离的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 经过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，与抛物线相交于 $A ， B$ 两点，其中点 $A$ 位于第一象限，若 $| F A | > | F B | ， | A B | = 8$ ，则 $α$ 的值为（）

A、 $4 5^{0}$ B、 $6 0^{0}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $13 5^{0}$

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7. 若双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线与圆 $C_{2} ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ 有公共点，则 $C_{1}$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ B、 $(1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(1 ， 2]$

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8. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为 $3 0^{∘}$ .已知礼物的质量为 $1 k g$ ，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度 $g$ 取 $9.8 m / s^{2}$ ）最接近（）

A、 $1.4 N$ B、 $1.5 N$ C、 $1.6 N$ D、 $1.8 N$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设曲线 $f (x) = s i n x$ 在点 $P$ 处的切线为 $l$ ，则直线 $l$ 的斜率可能的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1} ､ F_{2} ， A ､ B$ 为椭圆的左右顶点， $P$ 为 $C$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为6 B、 $| P F_{1} |$ 的最大值为3 C、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ （）

A、有可能是常数数列 B、有可能是等差数列 C、有可能是等比数列 D、有可能既不是等差数列，也不是等比数列

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12. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均等于 $1 ， D$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} B ⊥ A D$ B、平面 $A B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成的角是 $6 0^{∘}$ C、平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A B_{1} D$ D、 $A C$ 与平面 $A B_{1} D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数 $y = x l n x$ 的导数为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = n (n + 1) (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2024}} =$ .

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15. 设 $P ， Q$ 为曲线 $C ： \sqrt{x^{2} + (y - 3)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 3)^{2}} = 10$ 上的任意两点，则 $| P Q |$ 的最大值为.

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16. 在空间直角坐标系中，点 $M (0 ， 0 ， 1)$ 为平面 $A B C$ 外一点，其中 $A (1 ， 1 ， 0) ， B (0 ， 2 ， 1)$ ，若平面 $A B C$ 的一个法向量为 $(1 ， y_{0} ， - 1)$ ，则点 $M$ 到平面 $A B C$ 的距离为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + x + 1 ， g (x) = e^{- 2 x + 1}$ .

(1)、分别求出 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的导数；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在 $x = t (t \in R)$ 处的切线平行，求 $t$ 的值.

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18. 已知经过原点的直线 $l$ 与圆 $C ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A ， B$ 两点.

(1)、若 $| A B | = \sqrt{13}$ ，求 $l$ 的斜率；

(2)、已知存在 $x$ 轴上的点 $M (m ， 0)$ ，使直线 $M A ､ M B$ 的斜率之和恒为0，求 $m$ 的值.

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19. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} l o g_{4} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D ， P D = A D = 2$ ，点 $E ， F ， G$ 分别为 $P C ， P D ， B C$ 的中点.

(1)、求证： $P A ⊥ E F$ ；

(2)、求平面 $D F G$ 与平面 $E F G$ 的夹角的余弦值.

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21. 已知点 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{2} ， 0)$ ，动点 $M$ 满足 $| M F_{1} | - | M F_{2} | = 2$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、记动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ，若 $A ， B$ 是 $C$ 上的不同两点， $O$ 是坐标原点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的最小值.

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22. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 重合，椭圆 $C_{1}$ 的左､右顶点分别为 $P ､ Q$ ，且 $| P F | = 3 | Q F |$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A ， B$ 两点，且满足 $Q A ⊥ Q B$ ，求 $△ Q A B$ 的面积最大值.

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