浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. $s i n \frac{π}{3} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， a ， 4}$ ，若 $A \cap B = {2}$ ，则实数 $a$ 可以为（）

A、1 B、3 C、4 D、7

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3. 若对于任意 $x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $m + 2 - x^{2} \leq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq - 1$ B、 $m \leq 0$ C、 $m \leq 1$ D、 $m \leq 2 \sqrt{2}$

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4. 哥哥和弟弟一起拎一重量为 $G$ 的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为 $F_{1}$ ，弟弟用力为 $F_{2}$ ，若 $| F_{1} | = | F_{2} |$ ，且 $F_{1} ， F_{2}$ 的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时 $F_{1}$ 与重物重力 $G$ 之间的夹角为（）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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5. “ $- 4 \leq a \leq 4$ ”是“函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - a x + 4)$ 的定义域为 $R$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + b) x + 16$ ， $a$ ， $b$ 是正实数．若存在唯一的实数 $x$ ，满足 $f (x) \leq 0$ ，则 $a^{2} + 3 b^{2}$ 的最小值为（）

A、46 B、48 C、52 D、64

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7. 某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量 $Q$ （单位： $m g / L$ ）与时间 $r$ （单位： $h$ ）之间的关系为 $Q = Q_{0} e^{- k t}$ ，其中 $Q_{0}$ 是原有废气的污染物含量（单位： $m g / L$ ）， $k$ 是正常数．若在前 $4 h$ 消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（）
参考数据： $l n 0.2 \approx - 1.609$ ， $l n 0.8 \approx - 0.223$ ， $0 . 8^{4} = 0.4096$ ， $0 . 8^{6} \approx 0.26$

A、 $19 h$ B、 $29 h$ C、 $39 h$ D、 $49 h$

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8. 若实数 $x$ ， $y \in (- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ ，满足 $x s i n x = x^{2} + 2 y s i n 2 y$ ，则（）

A、 $x \geq 2 y$ B、 $x \leq 2 y$ C、 $| x | \geq | 2 y |$ D、 $| x | \leq | 2 y |$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 在 $△ A B C$ 中（）

A、若 $A \geq B$ ，则 $c o s A \leq c o s B$ B、若 $A \geq B$ ，则 $t a n A \geq t a n B$ C、 $s i n (A + B) = s i n C$ D、 $s i n \frac{A + B}{2} = c o s \frac{C}{2}$

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10. 已知 $f (x) = x^{α}$ （ $α \in R$ ）（）

A、当 $α = - 1$ 时， $f (x)$ 的值域为 $R$ B、当 $α = 3$ 时， $f (π) > f (3)$ C、当 $α = \frac{1}{2}$ 时， $f (x^{2})$ 是偶函数 D、当 $α = \frac{1}{2}$ 时， $f^{2} (x)$ 是奇函数

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11. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} ω x + \sqrt{3} s i n 2 ω x - 1$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上为增函数 C、 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 D、函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 的图像关于 $y$ 轴对称

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{c o s [π (x - \frac{1}{2})]}{(2^{| x |} + 1) (2^{| x - 1 |} + 1)}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 是周期函数 B、函数 $f (x)$ 有最大值和最小值 C、函数 $f (x)$ 有对称轴 D、对于 $x \in [- 1 ， \frac{1}{2}]$ ，函数 $f (x)$ 单调递增

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. $s i n 2$ 0（填＞或＜）．

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14. 函数 $f (n) = 200 c o s (\frac{π}{6} n + \frac{2 π}{3}) + 300$ （ $n \in {1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 12}$ 为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 $n =$ 时，游客流量最大．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 ， \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 ， \end{array}$ 则方程 $f (f (x)) = 2$ 的所有根之积为．

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16. 若函数 $f (x) = (x + \frac{2 + k}{x} + 2 + k) \cdot l n (x + 1)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ ，则实数 $k$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算下列各式的值：
（Ⅰ） $l o g_{3} 2 + l o g_{3} 5 - 2 l o g_{3} \sqrt{10} + 2^{l o g_{2} 3}$ ；
（Ⅱ） $\frac{1 - 6 4^{- x}}{1 + 8^{- x}} + (1 - 2^{x}) (1 + 2^{x} + 4^{x}) + {(8^{\frac{x}{2}} + 8^{- \frac{x}{2}})}^{2}$ ．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{5}$ ．
（Ⅰ）若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；
（Ⅱ）若 $(- 5 \vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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19. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} \frac{x}{2} - s i n^{2} \frac{x}{2} + s i n x$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期与对称轴方程；
（Ⅱ）当 $x_{0} \in (0 ， π)$ 且 $f (x_{0}) = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ 时，求 $f (x_{0} + \frac{π}{6})$ 的值．

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20. 如图，在扇形 $O P Q$ 中，半径 $O P = 1$ ，圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ， $A$ 是扇形弧上的动点，过 $A$ 作 $O P$ 的平行线交 $O Q$ 于 $B$ ．记 $∠ A O P = α$ ．
（Ⅰ）求 $A B$ 的长（用 $α$ 表示）；
（Ⅱ）求 $△ O A B$ 面积的最大值，并求此时角 $α$ 的大小．

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21. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} - 1) + e^{- x}$ ．
（Ⅰ）当 $a = - 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性（不必给出证明）；
（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的值域；
（Ⅲ）若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty ， 0)$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ ，求 $e^{2 x_{1}} + e^{2 x_{2}}$ 的取值范围．

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22. 二次函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$ ，且满足 $f (2 - x) = f (x - 2)$ ， $f (1) = - \frac{1}{4}$ ，函数 $g (x) = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（Ⅱ）若存在 $x_{0} \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ ，且 $f (x) - g (x)$ 的所有零点构成的集合为 $M$ ，证明： $M \subseteq [- 1 ， 1]$ ．

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