湖南省长沙市大联考2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z_{1} = 12 - 3 i$ ， $z_{2} = - 9 + i$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 的实部与虚部分别为（）

A、 $3$ ， $- 2$ B、 $3$ ， $- 2 i$ C、 $2$ ， $- 3$ D、 $2$ ， $- 3 i$

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2. 已知集合 $M = {x | y = l n (1 - 2 x)}$ ， $N = {y | y = e^{x}}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $\emptyset$

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3. 函数 $f (x) = (\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}) c o s (\frac{π}{2} - x)$ 的部分图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{10}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， - 1)$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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5. 已知角 $θ$ 的始边为x轴非负半轴，终边经过点 $(3 ， \sqrt{3})$ ，将角 $θ$ 的终边顺时针旋转 $\frac{π}{3}$ 后得到角 $β$ ，则 $t a n β =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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6. 已知抛物线E： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）点为F ，准线为l ，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B ，若 $| A B | = 3 | O F |$ （O为坐标原点），且△ABF的面积为 $12 \sqrt{2}$ ，则E的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ C、 $y^{2} = 8 x$ D、 $y^{2} = 8 \sqrt{3} x$

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7. 一个轴截面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球 $O_{1}$ 后，再放入一个球 $O_{2}$ ，则球 $O_{2}$ 的表面积与容器表面积之比的最大值为（）

A、 $\frac{4}{81}$ B、 $\frac{1}{27}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \frac{3 π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ ，且 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n 2 x ， s i n x < c o s x \\ s i n x ， s i n x ≥ c o s x \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有4个不同实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），则 $f (x_{1}) s i n \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(1 ， \sqrt{2})$ D、 $(- \sqrt{2} ， 1)$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0．

9. 若a ， $b \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a b \neq 0$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a < b$ ，则 $a^{3} < b^{3}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b + 1}{a + 1} < \frac{b}{a}$ D、若 $a | a | < b | b |$ ，则 $a < b$

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10. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $e = 2.718$ …为自然对数的底数，k ， b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时（参考数据： $2 . 8^{5} \approx 172$ ， $2 . 7^{6} \approx 387$ ），则下列说法正确的是（）

A、 $b \in (5 ， 6)$ B、若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时 C、 $k < 0$ D、若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃

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11. 欧拉函数 $φ (n)$ （ $n \in N^{*}$ ）的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如： $φ (3) = 2$ ， $φ (4) = 2$ ，则（）

A、 $φ (4) \cdot φ (6) = φ (8)$ B、当n为奇数时， $φ (n) = n - 1$ C、数列 ${φ (2^{n})}$ 为等比数列 D、数列 ${\frac{φ (2^{n})}{φ (3^{n})}}$ 的前n项和小于 $\frac{3}{2}$

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知M ， N ， P分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $B C$ 的中点，Q为平面 $P M N$ 上的动点，且直线 $Q B_{1}$ 与直线 $D B_{1}$ 的夹角为 $30 °$ ，则（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $P M N$ B、平面 $P M N$ 截正方体所得的截面面积为 $3 \sqrt{3}$ C、点Q的轨迹长度为 $π$ D、能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ${(2 x^{2} + x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为（用数字作答）.

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14. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值 $x_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，3，…，100），经计算 $\sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 7200$ ， $\sum_{i = 1}^{100} x_{i}^{2} = 100 \times (7 2^{2} + 36)$ ．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则估计该市高中生身体素质的合格率为．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ ≤ X ≤ μ + σ) \approx 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a (x - 2) e^{x} - a^{2} x^{2} (a > 0)$ 恰有两个零点，则 $a =$ .

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16. 在1，2，…，50中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 3$ ， ${(n + 1)}^{2} a_{n + 1} + (2 n + 1) S_{n} = 2$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{n^{2} (2 n - 1) S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， A为锐角，△ABC的面积为S ， $4 b S = a (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ．

(1)、判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、如图，若 $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $B C = \sqrt{5}$ ， O为△ABC内一点，且 $O C = 1$ ， $∠ A O C = \frac{3 π}{4}$ ，求OB的长．

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19. 如图，已知斜四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD ，点 $A_{1}$ 在底面ABCD的射影为O ，且 $A D = B C = C D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $A_{1} O = \frac{1}{2}$ ， $A A_{1} ⊥ B C$ ．

(1)、求证：平面ABCD⊥平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若M为线段 $B_{1} D_{1}$ 上一点，且平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求直线 $A_{1} M$ 与平面MBC所成角的正弦值．

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20. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神. 甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.

(1)、甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开. 当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；

(2)、为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒?

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $F (- \sqrt{3} ， 0)$ ，点 $P (x ， y)$ 是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 内切，记点P的轨迹为曲线E ．

(1)、求E的方程；

(2)、设点 $A (0 ， 1)$ ， $M (t ， 0)$ ， $N (4 - t ， 0) (t \neq 2)$ ，直线AM ， AN分别与曲线E交于点S ， T（S ， T异于A）， $A H ⊥ S T$ ，垂足为H ，求 $| O H |$ 的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + m x + \frac{m}{x}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $k \in N^{*}$ ，若 $\forall a$ ， $b \in (0 ， + \infty)$ ，当 $a > b$ 时， $\frac{2 k (a > b)}{2 \sqrt{a b} + a + b} + m a + f (b) + \frac{m}{a} < f (a) + \frac{m}{b} + m b$ 恒成立，求k的最大值．

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