云南省昭通市2024届高三上学期1月诊断性检测数学试卷

试卷更新日期：2024-02-23 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x ∣ x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- ∞ ， 1)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(1 ， 3)$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 - 3 i$

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3. 一个正方体木块的六个面分别标注 $1 ､ 2 ､ 3 ､ 4 ､ 5 ､ 6$ ，将它抛掷一次后，已知朝上的点数为奇数.则在此情况下，朝上的点数为5的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 已知直线 $l ： 3 x + y - 6 = 0$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 y - 4 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆孤 $\overset{⌢}{D E} ， \overset{⌢}{A C}$ 所在圆的半径分别是12和27，且 $∠ A B C = 12 0^{∘}$ .若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（）

A、 $292 π$ B、 $\frac{1330 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $195 π$ D、 $243 π$

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6. 函数 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 向左平移 $φ$ 个单位 $(0 < φ < \frac{π}{2})$ 得到 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 是偶函数，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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7. 已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3}{2} \vec{C B}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{C B}$ C、 $- \frac{3}{2} \vec{C B}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{C B}$

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8. 已知函数 $f (x) = l n x + s i n x ， g (x) = a x^{2} + s i n x$ ，若函数 $f (x)$ 图象上存在点 $M$ 且 $g (x)$ 图象上存在点 $N$ ，使得点 $M$ 和点 $N$ 关于坐标原点对称，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2 e} ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - \frac{1}{2 e}]$ C、 $[- \frac{1}{e^{2}} ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， - \frac{1}{e^{2}}]$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，下列结论正确的是（）

A、椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、椭圆的长轴长为2 C、若直线 $l$ 的方程为 $y = x + 1$ ，则右焦点到 $l$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、若直线 $l$ 过点 $(1 ， 0)$ ，且与 $y$ 轴平行，则 $| A B | = \frac{3}{2}$

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $f (x) - g (x) = x - 2^{x}$ ，则（）

A、 $f (x) = x - \frac{1}{2} (2^{x} - 2^{- x})$ B、 $g (x) = \frac{1}{2} (2^{x} + 2^{- x})$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} (2^{x} - 2^{- x})$ D、 $g (x) = 2^{x} + 2^{- x}$

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11. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1 ， S_{n - 1} = 3 a_{n} (n ⩾ 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{2} = \frac{1}{3}$ B、 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、 $a_{n + 1} = \frac{4}{3} a_{n} ， n ⩾ 2$ D、 $S_{n - 1} = {(\frac{4}{3})}^{n - 1} ， n ⩾ 2$

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12. 阅读材料：在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{u} = (a ， b ， c) (a ， b ， c$ 不全为零 $)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .根据阅读材料，解决下面问题：已知平面 $α ， β ， γ$ 的方程依次为 $3 x + y + 2 z - 5 = 0 ， 2 x + 4 y - 3 = 0 ， 3 y - z + 2 = 0 ， β \cap γ = l$ ，则（）

A、直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直 B、直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{l} = (- 2 ， 1 ， 3)$ C、平面 $β$ 垂直于平面 $γ$ D、直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{14}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 在 $(1 - x)^{3} + (1 - x)^{4} + (1 - x)^{5} + (1 - x)^{6}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是.（用数字作答）

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14. 应越共中央总书记阮富仲､越南国家主席武文赏邀请，中共中央总书记､中国国家主席习近平于2023年12月12日至13日对越南进行国事访问，期间，共同探讨了经济､政治等领域的诸多问题，构建了具有战略意义的中越命运共同体，访问受到了越南各层各界的隆重欢迎，引起了全世界的广泛关注.“访､越､南”三个汉字的笔画数，经过适当调整能构成一个等差数列，则此等差数列的公差为.

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15. 函数 $f (x) = \frac{4}{s i n^{2} x} + \frac{1}{c o s^{2} x}$ 的最小值是.

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16. 已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 是 $C$ 的右支上异于顶点的一点，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线的垂线，垂足为 $M ， | M O | = 2$ ，若点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 满足 $x_{2} = y_{2}$ ，则 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a_{n}} ， n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{1 - a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = (- 1)^{n} (a_{n} - \frac{1}{a_{n}})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 为研究儿童性别是否与患某种疾病有关，某儿童医院采用简单随机抽样的方法抽取了66名儿童.其中：男童36人中有18人患病，女童30人中有6人患病.
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、完成列联表，并根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析儿童性别与患病是否有关；
性别
是否患病
合计
是
否
男

女

合计

(2)、给患病的女童服用某种药物，治愈的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，则恰有3名被治愈的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值和最大值点 $p_{0}$ 的值.

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20. 如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形， $C A ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1} ， A C = A B = 2 ， B_{1} C_{1}$ $∥$ $B C$ ， $B C = 2 B_{1} C_{1}$ .

(1)、求证： $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若 $A_{1} B_{1} = 3 A_{1} E$ ，求二面角 $A_{1} - B C_{1} - E$ 的正弦值.

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21. 若抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $P (x_{0} ， 2)$ 到其焦点的距离是点 $P$ 到 $y$ 轴距离的2倍.

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、已知点 $A (- 1 ， 2)$ ，过抛物线 $C$ 的焦点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M ， N$ 两点，当 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 取最小值时，求 $△ A M N$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + a (x - 1)^{2} - x (a ⩾ 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $0 < x_{1} < x_{2}$ 且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - 2$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

性别	是否患病		合计
性别	是	否	合计
男
女
合计