湖南省衡阳市第八名校2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $B = {x | y = l g (2^{x} - 1)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$ D、 ${x | 0 < x \leq 1}$

查看试题解析
2. 为了得到函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需把函数 $y = s i n (x - \frac{π}{3})$ 的图象上所有的点的（）

A、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 C、纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，横坐标不变

查看试题解析
3. 已知两个单位向量 ${\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{b} = {\vec{e}}_{1} + m {\vec{e}}_{2}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

查看试题解析
4. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{3} = 7$ ， $S_{6} = 63$ ，若关于n的不等式 $S_{2 n} - t a_{n} + 33 \geq 0$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数t的最大值为（）

A、12 B、16 C、24 D、36

查看试题解析
5. 已知直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 满足 $12 0^{∘} < α \leq 13 5^{∘}$ ，则 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ B、 $[- \sqrt{3} ， - 1]$ C、 $(- \sqrt{3} ， - 1]$ D、 $(- ∞ ， - \sqrt{3}] \cup (- 1 ， + ∞)$

查看试题解析
6. 若复数 $\frac{1 + a i}{1 - i^{2023}} (a \in R)$ 为纯虚数，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

查看试题解析
7. 已知 $△ A B C$ 中， $A C = 1 ， A B = 2 ， B C = \sqrt{3}$ ，在线段 $A B$ 上取一点 $M$ ，连接 $C M$ ，如图①所示．将 $△ A C M$ 沿直线 $C M$ 折起，使得点 $A$ 到达 $A^{'}$ 的位置，此时 $△ B C M$ 内部存在一点 $N$ ，使得 $A^{^{'}} N ⊥$ 平面 $B C M ， N C = \frac{\sqrt{7}}{3}$ ，如图②所示，则 $A^{'} M$ 的值可能为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

查看试题解析
8. 若函数 $f (x) = a^{x} + b^{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则a和b的可能取值为（）

A、 $a = l n 1.1$ ， $b = 10$ B、 $a = l n 11$ ， $b = 0.1$ C、 $a = e^{0.2}$ ， $b = 0.8$ D、 $a = e^{- 0.2}$ ， $b = 1.8$

查看试题解析

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9. 定义在D上的函数 $f (x)$ ，如果满足：存在常数 $M > 0$ ，对任意 $x \in D$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称 $f (x)$ 是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（）

A、 $y = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ D、 $y = x - [x]$ （ $[x]$ 表示不大于x的最大整数）

查看试题解析
10. 将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（）

A、事件甲与事件丙为互斥事件 B、事件甲与事件丁是相互独立事件 C、事件乙包含于事件丙 D、事件丙与事件丁是对立事件

查看试题解析
11. 已知点 $F$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ ，直线 $l$ 经过点 $F$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，与准线交于点 $D$ ，且 $B$ 为 $A D$ 中点，则下面说法正确的是（）

A、 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ B、直线 $l$ 的斜率是 $\pm \frac{1}{3}$ C、 $| A B | = 9$ D、设原点为 $O$ ，则 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{26}{3}$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = x - t a n x$ ， $x \in {x | 0 < x < \frac{5 π}{2}$ ， $x \neq \frac{π}{2}$ 且 $x \neq \frac{3 π}{2}}$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $t a n x > x$ B、 $x_{2} + x_{1} < 3 π$ C、若 $x_{2} > x_{1}$ ，则 $x_{2} - x_{1} > π$ D、 $x_{1} s i n x_{2} + x_{2} s i n x_{1} < 0$

查看试题解析

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知 $(1 + x)^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{8} x^{8}$ ，则 $2 a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} =$ .

查看试题解析
14. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $3 S_{3} = S_{2} + 2 S_{4}$ ，且 $a_{4} = 1$ ，则公差 $d =$ ．

查看试题解析
15. 已如圆台的高为2，上底面圆 $O_{1}$ 的半径为2，下底面圆 $O_{2}$ 的半径为4， $A$ ， $B$ 两点分别在圆 $O_{1}$ 、圆 $O_{2}$ 上，若向量 $\vec{O_{1} A}$ 与向量 $\vec{O_{2} B}$ 的夹角为60°，则直线 $A B$ 与直线 $O_{1} O_{2}$ 所成角的大小为．

查看试题解析
16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $| A B | = 2 | A D |$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为边 $A B$ ， $C D$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别为线段 $A_{2} C$ （不含端点）和 $A D$ 上的动点，满足 $\frac{| M A_{2} |}{| C D |} = \frac{| D N |}{| A D |}$ ，直线 $A_{1} M$ ， $A_{2} N$ 的交点为 $P$ ，已知点 $P$ 的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的渐近线方程为.

查看试题解析

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{2^{n}} = n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 前 $n$ 项和.

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a^{2} = 3 b^{2} + c^{2}$ ，且 $s i n C = 2 s i n B$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b + c = 6$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，求 $A D$ 的长度.

查看试题解析
19. 如图，已知五面体 $A B C D E$ ，其中 $△ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，四边形 $D C B E$ 为平行四边形，且 $D C ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，且二面角 $A - B D - C$ 所成角 $θ$ 的正切值是2，试求该几何体 $A B C D E$ 的体积．

查看试题解析
20. 某市在 $200$ 万成年人中随机抽取了 $100$ 名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于 $1.5$ 小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于 $2.5$ 小时的市民称为“读书迷”．

(1)、试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；

(2)、省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中 $55 \frac{0}{0}$ 的成年人平均每天读书时长不低于 $a$ 小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到 $0.1$ ）

(3)、该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过 $20$ 万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数 $x (x > 1)$ ，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少 $10 l n x \frac{0}{0}$ ， “读书迷”愿意加入的人数会减少 $\frac{10 l n x}{0.1 l n x + 1.1} \frac{0}{0}$ ．问会费参数 $x$ 至少定为多少时，才能使会员的人数不超过 $20$ 万人？

查看试题解析
21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，虚轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，过 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交 $C$ 的左支于A、B两点.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $| A F_{1} | = 4 \sqrt{2}$ ，求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的大小；

(3)、若 $M (- 2 ， 0)$ ，试问：是否存在直线 $l$ ，使得点 $M$ 在以 $A B$ 为直径的圆上？请说明理由.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = k e^{2 x} - (x + 1)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、当 $k = 1$ 时，若对 $x \in [0 ， 1]$ ，函数 $F (x) = \frac{x + 1}{f (x) + x + 1} - 2 x c o s x$ 的图象都不在 $H (x) = \frac{x^{3}}{2} + m x + 1$ 图象的下方，求实数 $m$ 的取值范围．

查看试题解析