广东省阳江市2023-2024学年高二上学期1月期末测试数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $A = {- 1 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $(∁_{U} B) \cup A =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 2}$ D、 ${2}$

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2. 已知 $x$ ， $y > 0$ ， $\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 4 x y$ ，则 $3 x + 2 y$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，则 $f (3)$ 的值为（）

A、9 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 a x + 4 = 0$ 有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(\frac{5}{2} ， + \infty)$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$

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5. 已知 $c o s x + s i n x = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\frac{s i n 2 x}{c o s (x - \frac{π}{4})}$ ＝（）

A、 $- \frac{7}{16}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、 $- \frac{7}{6}$ D、 $- \frac{7}{3}$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (c o s α ， s i n α)$ ， $\vec{b} = (- s i n α ， c o s α)$ ， $\vec{m} = \sqrt{3} \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + \sqrt{3} \vec{b}$ ，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 某圆锥的母线长为4，轴截面是顶角为120°的等腰三角形，过该圆锥的两条母线作圆锥的截面，当截面面积最大时，圆锥底面圆的圆心到此截面的距离为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知 $P ， A ， B ， C$ 是表面积为 $16 π$ 的球 $O$ 表面上的四点，球心 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，且到平面 $P A B ， P B C ， P A C$ 的距离之比为 $2 ： 2 ： \sqrt{7}$ ，则四面体 $P - A B C$ 的体积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若 $a = 6 ， A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ B、若 $a = 6 ， b + c = 8$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $3 \sqrt{7}$ C、若角 $A$ 的内角平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，且 $\frac{B D}{D C} = \frac{1}{2} ， a = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为3 D、若 $A B = B C ， M$ 为 $B C$ 的中点，且 $A M = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{8}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = | a x + 1 | - | a x - 1 | (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数 B、当 $a = 1$ 时， $f (x) < 1$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、当 $a < 0$ 时， $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、当 $a \neq 0$ 时， $y = f (x)$ 值域为 $[- 2 ， 2]$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{| x |}{x + 1} - 1$ ，则下列正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数 B、存在 $x \in R$ ，使得 $f (- x) = - f (x)$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， - 2] ∪ [- 1 ， + \infty)$ D、方程 $f (x) - x^{2} = 0$ 只有一个实数根

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为4，动点 $P$ 、 $Q$ 分别满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + n \vec{A D_{1}}$ ，其中 $m \in (0 ， 1)$ ， $n \in R$ 且 $n \neq 0$ ， $| \vec{Q B} + \vec{Q C_{1}} | = 4$ ； $R$ 在 $B_{1} C_{1}$ 上，点 $T$ 在平面 $A B B_{1} A_{1}$ 内，则（）

A、对于任意的 $m \in (0 ， 1)$ ， $n \in R$ 且 $n \neq 0$ ，都有平面 $A C P ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} D$ B、当 $m + n = 1$ 时，三棱锥 $B - A_{1} P D$ 的体积不为定值 C、若直线 $R T$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则直线 $D D_{1}$ 与直线 $R T$ 所成角正弦值最小为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ． D、 $\vec{A_{1} Q} \cdot \vec{Q D}$ 的取值范围为 $[- 28 ， 4]$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $s i n (\frac{π}{4} + α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{s i n 2 α + 2 s i n^{2} α}{1 + t a n α}$ 的值为.

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14. 已知点 $(2 ， 1)$ 在函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq a \\ 2^{x} - 3 ， x > a \end{array}$ 的图像上，且 $f (x)$ 有最小值，则常数 $a$ 的一个取值为．

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15. 三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点都在表面积为 $20 π$ 的球O上，点A在平面 $B C D$ 的射影是线段 $B C$ 的中点， $A B = B C = 2 \sqrt{3}$ ，则平面 $B C D$ 被球O截得的截面面积为．

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16. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，且 $A B ⊥ B C$ ， $C D ⊥ B C$ ，异面直线 $A B$ ， $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，则该四面体外接球的表面积为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c ，且 $a + b = 11$ ， $c = 7$ ， $c o s A = - \frac{1}{7}$ ．
求：

(1)、a的值；

(2)、 $s i n C$ 和 $△ A B C$ 的面积．

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18. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求a、b的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）；

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19. 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ABB₁＝ $\frac{π}{2}$ ， ∠B₁BC＝ $\frac{π}{3}$ ．

(1)、证明：A₁C₁⊥B₁C；

(2)、求直线BC与平面ABB₁A₁所成角的大小．

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20. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + y - 8 = 0$ ，直线 $l_{2} ： x - y + 2 = 0$ ，设直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为A ，点P的坐标为 $(2 ， 0)$ .

(1)、经过点P且与直线 $l_{1}$ 垂直的直线方程；

(2)、求以 $A P$ 为直径的圆的方程.

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21. 已知直线 $m ： 3 x + 4 y + 12 = 0$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ ．

(1)、求与直线 $m$ 垂直且经过圆心 $C$ 的直线的方程；

(2)、求与直线 $m$ 平行且与圆 $C$ 相切的直线的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = | x - a | - \frac{1}{x} (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；

(2)、设 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2]$ 上最大值为 $g (a)$ ，求 $y = g (a)$ 的解析式.

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