广东省肇庆市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $A = {0 ， 1}$ ，集合 $B = {1 ， 2}$ ，则 $(∁_{U} B) ∩ A =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 1}$ D、 ${0}$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $l n x < e^{x}$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0$ ， $l n x < e^{x}$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $l n x < e^{x}$ C、 $\exists x > 0$ ， $l n x \geq e^{x}$ D、 $\forall x > 0$ ， $l n x \geq e^{x}$

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3. 若一个扇形的半径为 $2 \sqrt{3}$ ，圆心角为 $\frac{5 π}{12}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $5 π$ B、 $\frac{5}{2} π$ C、 $7 π$ D、 $\frac{7}{2} π$

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4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \frac{1}{x + 1}$ B、 $y = - x^{2} - 1$ C、 $y = 3^{x}$ D、 $y = l o g_{2} | x | + 3$

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5. 已知 $s i n θ + c o s θ = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $s i n θ c o s θ =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 下列选项中为“ $\frac{5}{x} < 1$ ”的必要不充分条件的是（）

A、 $x < 0$ 或 $x > 4$ B、 $x < 0$ 或 $x > 5$ C、 $x < 0$ 或 $x > 6$ D、 $x > 5$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - c o s x}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a > 0$ ， $b > 1$ ， $a + \frac{4}{b - 1} = 1$ ，则 $\frac{4}{a} + b$ 的最小值为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 关于函数 $y = t a n (x - \frac{π}{3})$ ，下列说法中正确的有（）

A、是奇函数 B、在区间 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 为其图象的一个对称中心 D、最小正周期为 $π$

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10. 已知 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a} < 0 < \frac{1}{d} < \frac{1}{c}$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $a + c < b + d$ B、 $d - b < c - a$ C、 $a d < b c$ D、 $b d > a c$

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11. 已知函数 $y = s i n (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{5} ， \frac{2 π}{5}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12. 已知函数 $y = f (x + 2) - 2$ 为奇函数， $g (x) = 100 s i n (2 x - 4) + 2$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y = g (x)$ 的图象从左到右交于点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ … $(x_{11} ， y_{11})$ 共11个点，则下列结论中正确的有（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(2 ， - 2)$ 中心对称 B、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(2 ， 2)$ 中心对称 C、 $x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{11} = 22$ D、 $y_{1} + y_{2} + ⋯ + y_{11} = 22$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (5 ， t)$ ，且 $s i n α = - \frac{12}{13}$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 若幂函数 $g (x) = (a^{2} + 5 a + 5) x^{a + 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} c o s (x + \frac{2 π}{3}) + \frac{5}{2} ， x \leq 0 ， \\ l o g_{2} x ， x > 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 2024 π)) =$ .

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域 $D = (- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ ，对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ，都有 $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2}) + 2$ ，且对 $\forall x_{3}$ ， $x_{4} \in (2 ， + \infty)$ 都有 $(x_{3} - x_{4}) [f (x_{3} - 2) - f (x_{4} - 2)] < 0$ .若 $f (m) > - 2$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = l g (x^{2} - 9) + \frac{1}{\sqrt{6 - x}}$ 的定义域为 $A$ ，集合 $B = {x | | x - m ∣ \leq 1}$ .

(1)、求定义域 $A$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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18.

(1)、化简： $\frac{s i n (\frac{5 π}{2} + α) s i n (- 3 π - α) t a n (π - α)}{c o s (\frac{2023}{2} π - α) c o s (7 π - α) t a n (5 π - α)}$ ；

(2)、已知 $t a n (\frac{π}{2} - α) = \frac{2}{3}$ ，求 $2 s i n α c o s α + c o s^{2} α$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 4 ， - 1] ∪ [1 ， 4]$ 上的偶函数，当 $x \in [1 ， 4]$ 时， $f (x) = l o g_{2} x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (2 x) \geq 2 f (x)$ .

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20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6}) + 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 内的单调递减区间；

(2)、若 $- 5 \leq a < 3$ ，判断函数 $g (x) = f (x) + a$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 内的零点的个数.

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21. 2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合。已知绿色科技产品A在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），每件的销售价格为10元，日销售量 $Q (x)$ （单位：件）与第x天的部分数据如下表所示：
x
5
6
12
18
24
28
30
$Q (x)$
45
46
52
58
56
52
50

(1)、给出下列三个函数模型：① $Q (x) = m a^{x} + n$ ；② $Q (x) = m | x - a | + n$ ；③ $Q (x) = m l o g_{a} x + n$ .请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域.

(2)、若绿色科技产品B在这30天内（包括第30天）的日销售收入 $P (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天）的函数关系近似满足 $P (x) = \frac{2}{3} x^{2} - 20 x + \frac{1900}{3}$ ，求这30天内（包括第30天）绿色科技产品 $A$ 的日销售收入不少于绿色科技产品 $B$ 的总天数.

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22. 对于函数 $φ (x)$ ，若定义域内存在实数 $x_{0}$ ，满足 $φ (- x_{0}) = - φ (x_{0})$ ，则称 $φ (x)$ 为“ $L$ 函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{6})$ ，试判断 $f (x)$ 是否为“ $L$ 函数”，并说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = 3^{x} + \frac{a}{3^{x}} (a \in R)$ 为 $R$ 上的奇函数，函数 $h (x) =$ ${\begin{array}{l} {[g (x) + 3^{- x}]}^{2} - 2 m [g (x) + 3^{- x}] - 4 ， x \geq - 1 \\ - 4 ， x < - 1 \end{array}$ ，为其定义域上的“ $L$ 函数”，求实数 $m$ 的取值范围.

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x	5	6	12	18	24	28	30
$Q (x)$	45	46	52	58	56	52	50