高中数学三轮复习（直击痛点）：专题18隐圆问题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：三轮冲刺

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一、填空题

1. 已知点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ､ F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{∘}$ ，记 $P$ 的轨迹为 $C_{1}$ ，以 $| P F_{1} |$ 的最大值为长轴，且以 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为左､右焦点的椭圆为 $C_{2}$ ，则 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点到 $x$ 轴的距离为.

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- t ， 0) (t > 0)$ ， $B (t ， 0)$ ，点 $C$ 满足 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 8$ ，且点 $C$ 到直线 $l ： 3 x - 4 y + 24 = 0$ 的最小距离为 $\frac{9}{5}$ ，则实数 $t$ 的值是．

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3. 古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga ，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A ， B ，则满足 $\frac{M A}{M B} = λ (λ \neq 1)$ 的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知 $A (4 ， 0) ， B (1 ， 0) ， C (1 ， - 4)$ ，动点M满足 $\frac{M A}{M B} = 2$ ，则 $△ M A C$ 面积的最大值为.

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4. 若对于一个实常数 $t$ ，恰有三组实数对 $(a ， b)$ 满足关系式 $| a + b + 1 | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = t$ ，则 $t =$ .

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5. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是.

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6. 已知M为抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 上一点，过抛物线C的焦点F作直线 $x + (m - 1) y = 5 - 2 m$ 的垂线，垂足为N ，则 $| M F | + | M N |$ 的最小值为．

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， P (2 ， 1)$ 为抛物线 $C$ 内侧一点， $M$ 为 $C$ 上的一动点， $| M P | + | M F |$ 的最小值为 $\frac{7}{2}$ ，则 $p =$ ，该抛物线 $C$ 上一点A（非顶点）处的切线 $l$ 与圆 $M ： (x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ 相切，则 $| A F | =$ ．

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二、解答题

8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (2 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，点M满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 6 y + 8 = 0$ ，若直线l过圆 $C_{1}$ 的圆心且与曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，且 $| P Q | = 2$ ，求直线l的方程.

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9. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ，动点P满足 $| P A | = \sqrt{2} | P O |$ .

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、若直线l过点 $Q (1 ， 2)$ 且与轨迹C相切，求直线l的方程.

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10. 已知点 $A (- 3 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，动点P 满足：|PA|=2|PB|．

(1)、若点P的轨迹为曲线 $C$ ，求此曲线的方程；

(2)、若点Q在直线l_1：x+y+3=0上，直线l₂经过点Q且与曲线 $C$ 只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

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11. 已知坐标平面上点 $M (x ， y)$ 与两个定点 $A (4 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 的距离之比等于2．

(1)、求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)、记（1）中的轨迹为C ，过点 $M (1 ， \frac{1}{2})$ 的直线l被C所截得的线段的长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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12. 已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6 ， 4)$ ，端点 $A$ 的运动轨迹是曲线 $C$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程是 $(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于两点 $E$ ， $F$ （异于原点 $O$ ）直线 $O E$ ， $O F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 5$ ，
①证明：直线 $l$ 过定点 $P$ ，并求出点 $P$ 的坐标；
②若 $B D ⊥ E F$ ， $D$ 为垂足，证明：存在定点 $Q$ ，使得 $| D Q |$ 为定值．

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三、选择题

13. 已知点 $A (- 1 ， 0) ， B (- 4 ， 0) ， C (- 4 ， 3)$ ，动点 $P ， Q$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{| Q A |}{| Q B |} = \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{C P} + \vec{C Q} |$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 16]$ B、 $[6 ， 14]$ C、 $[4 ， 16]$ D、 $[\sqrt{3} ， 3 \sqrt{5}]$

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (4 ， 0) ， B (1 ， 0) ， C (- 1 ， 0) ， D (0 ， 1)$ ，若点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则 $| P C | + \frac{1}{2} | P D |$ 的最小值为（）.

A、 $2$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2} + 1$

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15. 已知曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 坐标为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} t ， a + \frac{\sqrt{2}}{2} t)$ （ $t$ 为参数）， $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ .若曲线 $C$ 上存在点 $P$ 满足 $\vec{A P} \cdot \vec{B P} = 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点P为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为 $60 °$ 的点P的轨迹长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 3)$ ，若直线 $l ： y = k x + 3$ 上存在点 $M$ ，使得 $| M A | = 2 | M O |$ ，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3}] ∪ [\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$

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18. 已知点 $P$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{20} = 1$ 右支上的动点， $M$ ， $N$ 两点满足 $| P M | = | P N | = 1$ ，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线的左，右焦点，则 $\frac{{| M F_{1} |}^{2}}{| N F_{2} |}$ 的最小值为（）

A、 $12 + 4 \sqrt{2}$ B、 $16 + 3 \sqrt{2}$ C、24 D、26

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四、多项选择题

19. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 1 ， | 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{31} ， | \vec{c} | = 2 | \vec{c} - \vec{a} |$ ，设 $\vec{m} = t \vec{b}$ $(t \in R)$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{5}{2} \vec{b}$ C、 $| \vec{m} - \vec{c} |$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} - 2$ D、 $| \vec{m} - \vec{c} |$ 无最大值

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20. 加斯帕尔·蒙日（图1）是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P ， Q均在C的蒙日圆O上，PA ， PB分别与C相切于A ， B ，则下列说法正确的是（）

A、C的蒙日圆方程是 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、设 $N (1 ， 1)$ ，则 $| A N | + | A F_{2} |$ 的取值范围为 $[4 - \sqrt{5} ， 4 + \sqrt{5}]$ C、若点P在第一象服的角平分线上，则直线AB的方型为 $3 \sqrt{14} x + 4 \sqrt{14} y - 24 = 0$ D、若直线PQ过原点O ，且与C的一个交点为G ， $| G F_{1} | \cdot | G F_{2} | = 3$ ，则 $| G P | \cdot | G Q | = 4$

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $l ： x = - 1$ ，焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $P P_{1} ⊥ l$ 于 $P_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $x_{1} + x_{2} = 5$ ，则 $| P Q | = 7$ B、以 $P Q$ 为直径的圆与准线 $l$ 相切 C、设 $M (0 ， 1)$ ，则 $| P M | + | P P_{1} | \geq \sqrt{2}$ D、过点 $M (0 ， 1)$ 与抛物线 $C$ 有且仅有一个公共点的直线至多有2条

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，点 $P$ 满足 $P A 、 P B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，点 $P$ 的运动轨迹记为 $C$ .下列结论正确的（）

A、轨迹 $C$ 的方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ （ $x \neq \pm 2$ ） B、存在点 $P$ 使得 $∠ A P B = 9 0^{0}$ C、点 $M (1 ， 1) ， F (1 ， 0)$ ，则 $| P F | + | P M |$ 的最小值为 $4 + \sqrt{5}$ D、斜率为 $2$ 的直线与轨迹 $C$ 交于 $Q$ ， $S$ 两点，点 $N$ 为 $Q S$ 的中点，则直线 $O N$ 的斜率为 $- \frac{3}{8}$

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