2023年吉林省中考数学真题变式题：第八题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：二轮复习

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一、原题重现

1. 不等式 $4 x - 8 > 0$ 的解集为．

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二、变式基础练

2. 当x满足x+1<3x-3时，方程 $x^{2} - 2 x - 5$ =0的根为.

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3. 一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（）

A、2x≥6 B、x-3<0 C、3-x<0 D、x+3>0

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4. 解不等式： $\sqrt{3} x \geq 2 x - 1$ 的解集是．

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5. 3x-5<1的正整数解为.

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6. 关于 $x$ 的不等式 $3 x - 2 > x$ 的解集是.

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7. 不等式 $2 (y + 1) < y + 3$ 的解为.

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8. 不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为．

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9. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > x \\ \frac{x + 5}{2} - x \geq 1 \end{array}$ ．

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三、变式提升练

10. 不等式 $x + 2 \geq 3$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 关于 $x$ 的方程 $x - 5 = - 3 a$ 解为负数，则实数a的取值范围是（）．

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $a > \frac{5}{3}$ D、 $a < \frac{5}{3}$

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12. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x - 2}$ $+ 1 = \frac{x}{2 - x}$ 的解是非负数.则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m ⩽ 2$ B、 $m ⩾ 2$ C、 $m ⩽ 2$ 且 $m \neq - 2$ D、 $m < 2$ 且 $m \neq - 2$

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13. 若不等式（a﹣3）x＞1的解集为 $x < \frac{1}{a - 3}$ ，则a的取值范围是．

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14. 已知方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 3 ， ① \\ x - y = 1 ② \end{array}$ 的解满足 $2 k x - 3 y < 5$ ，求 $k$ 的取值范围.

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15. 解下列方程 $($ 或不等式 $)$ ．

(1)、 $4 x = 3 x - 4$ ；

(2)、 $3 x + 2 \leq - 2 (x - 2)$ ．

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16. 解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．

(1)、 $4 (x - 1) < 3 x - 6$

(2)、 ${\begin{cases} 3 x < 2 x + 5 \\ \frac{x + 4}{6} - 1 < \frac{2 x + 2}{3} \end{cases}$

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四、变式培优练

17. 对于实数 $p$ 、 $q$ ，且 $(p \neq q)$ ，我们用符号 $m i n {p ， q}$ 表示 $p$ 、 $q$ 两数中较小的数，如 $m i n {1 ， 2} = 1$ ．若 $m i n {1 - x ， x} = 2 x + 1$ ，则 $x =$ ．

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18. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程 $x - 1 = 3$ 的解为 $x = 4$ ，而不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的解集为 $2 < x < 5$ ，不难发现 $x = 4$ 在 $2 < x < 5$ 的范围内，所以方程 $x - 1 = 3$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的“关联方程”．

(1)、在方程① $2 (x + 1) - x = - 3$ ；② $\frac{x + 1}{3} - 1 = x$ ；③ $2 x - 7 = 0$ 中，不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > x - 3 \\ 3 (x - 2) - x \leq 2 \end{array}$ 的“关联方程”是；（填序号）

(2)、关于x的方程 $2 x - k = 6$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x - 3}{2} \geq x \\ \frac{2 x + 5}{2} > \frac{1}{2} x \end{array}$ 的“关联方程”，求k的取值范围；

(3)、若关于x的方程 $\frac{x + 5}{2} - 3 m = 0$ 是关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 2 m}{2} > m \\ x - m \leq 2 m + 1 \end{array}$ 的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围．

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19. 阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A ， B ，若数轴上存在点M ，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”．其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”
解答下列问题：

(1)、若点A表示的数为-5，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“亚运点”，则点M表示的数为；

(2)、若A、B两点的“亚运点”M表示的数为2，且A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为，

(3)、点A表示的数为-6，点C ， D表示的数分别是-2，0，点O为数轴原点（与静止时的D点重合），点B为线段CD上一点（点B可以与点C与点D重合）．
①设点M表示的数为m ，若点M可以为点A与点B的“亚运@未来点”，则m可取得整数有；
②若点A和点D同时以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，当t的整数值为时，点O可以为点A与点B的“亚运@未来点”．

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20. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程 $x + 1 = 2$ 的解为 $x = 1$ ，而一元一次不等式 $2 x - 3 < x$ 的解集为 $x < 3$ ，不难发现 $x = 1$ 在 $x < 3$ 范围内，则一元一次方程 $x + 1 = 2$ 是一元一次不等式 $2 x - 3 < x$ 的“伴随方程”

(1)、在① $- 3 (x + 1) = 9$ ， ② $2 x + 3 = 5$ ， ③ $\frac{x + 5}{4} = \frac{1}{2}$ 三个一元一次方程中，是一元一次不等式 $3 (1 + x) > x - 4$ 的“伴随方程”的有（填序号）；

(2)、若关于x的一元一次方程 $3 x - a = 2$ 是关于x一元一次不等式 $3 (a + x) \geq 4 a + x$ 的“伴随方程”，且一元一次方程 $\frac{x - 1}{2} + 1 = x$ 不是关于x的一元一次不等式 $\frac{a}{2} < \frac{a - x}{3}$ 的“伴随方程”．
①求a的取值范围；

②直接写出代数式 $| a | + | a - 3 |$ 的最大值．

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21. 阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程 $2 x - 1 = 1$ 与不等式 $x + 1 > 0$ ，当 $x = 1$ 时， $2 x - 1 = 2 \times 1 - 1 = 1$ ， $1 + 1 = 2 > 0$ 同时成立，则称“ $x = 1$ ”是方程 $2 x - 1 = 1$ 与不等式 $x + 1 > 0$ 的“理想解”．

问题解决：

(1)、请判断方程 $3 x - 5 = 4$ 的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”（直接填写序号）
① $2 x - 3 > 3 x - 1$ ，
② $2 (x - 1) \leq 4$ ，
③ ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ x - 2 \leq 1 \end{array}$ ；

(2)、若 ${\begin{array}{l} x = m \\ y = n \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 6 \\ 2 x + y = 3 q \end{array}$ 与不等式 $x + y > 1$ 的“理想解”，求q的取值范围；

(3)、当 $k < 3$ 时，方程 $3 (x - 1) = k$ 的解都是此方程与不等式 $4 x + n < x + 2 m$ 的“理想解”．若 $m + n \geq 0$ 且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．

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