2023年吉林省中考数学真题变式题：第五题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：二轮复习

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一、原题重现

1. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $A B$ 上，过点D作 $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E．若 $A D = 2 ， B D = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、变式基础练

2. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D E / / B C$ ， $A D = 9$ ， $D B = 3$ ， $C E = 2$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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3. 如图，已知 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，它们依次交直线 $l_{4} 、 l_{5}$ 于点A、B、C和点D、E、F ，如果 $D E ： D F = 3 ： 5 ， A C = 12$ ，那么 $B C$ 的长等于（）

A、2 B、4 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{36}{5}$

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4. 如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $\frac{C D}{E F} = \frac{B C}{B E}$ B、 $\frac{E C}{B E} = \frac{D F}{A D}$ C、 $\frac{A D}{D F} = \frac{B C}{C E}$ D、 $\frac{C D}{E F} = \frac{A B}{E F}$

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5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD ：BD=2：3，那么下列条件中能够判断DE//BC的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{5}$ C、 $\frac{A E}{A C} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{A E}{A C} = \frac{2}{5}$

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6. 如图： $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A D ： D F = 3 ： 1 ， B E = 12$ ，那么CE的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图，直线 $A B ∥ C D ∥ E F$ ，若 $A C = 3$ ， $A E = 7$ ，则 $\frac{B D}{D F}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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8. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：

画法

图形

1．以A为端点画一条射线；

2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE ，连接BE；

3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N ， M、N就是线段AB的三等分点．

这一画图过程体现的数学依据是（）

A、两直线平行，同位角相等 B、两条平行线之间的距离处处相等 C、垂直于同一条直线的两条直线平行 D、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

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9. 如图，两条直线被三条平行线所截，若 $A B ： B C = 2 ： 3$ ， $D E = 4$ ，则EF为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中． $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 上的点， $E F ∥ B C$ ，且 $\frac{A E}{E B} = \frac{1}{2}$ ．则 $\frac{E F}{B C} =$ ．

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11. 如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．AD＝2，DB＝3，AE＝4，则EC＝；

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三、变式提升练

12. 如图，已知 $A B / / C D / / E F$ ， $A D ： A F = 3 ： 5$ ， $B C = 6$ ， $C E$ 的长为（）

A、2 B、4 C、3 D、5

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E / / B C$ 分别交AC，AB于点 $D ， E ， E F / / A C$ 交BC于点 $F ， \frac{A E}{B E} = \frac{2}{5} ， B F = 8$ ，则DE的长为（）

A、 $\frac{16}{5}$ B、 $\frac{16}{7}$ C、2 D、3

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14. 如图，AB是半圆O的直径，半径 $O C ⊥ A B$ ，点D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接BD ， OD ， AC ， AD ， AD与OC交于点E ，给出下面三个结论：
①AD平分 $∠ C A B$ ；② $A C ∥ O D$ ；③ $A E = \sqrt{2} D E$ .
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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15. 如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，若 $\frac{A D}{A F} = \frac{3}{5} ， B C = 6$ ，则 $C E$ 的长 $=$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，且 $D E // B C$ ．若 $A D = 2 cm$ ， $A B = 6 cm$ ， $A E = 1.5 cm$ ，则 $E C$ 的长为 $cm$ ．

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17. 如图， $A D ∥ B E ∥ C F$ ，且 $A B = 4 c m$ ， BC=6cm，DF=15cm，则 $E F =$ cm.

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18. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE//BC交AC于点E，将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置.则图2中 $\frac{B D}{C E}$ 的值为.

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19. 如图，在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，AC=1，AB=2，则何时矩形PMCN的面积最大？最大面积是多少？

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四、变式培优练

20. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是（）

A、BD＝10 B、HG＝2 C、 $E G ∥ F H$ D、GF⊥BC

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，点 $E ， F$ 分别在 $C D ， A D$ 边上，且 $Δ B C E$ 与 $Δ B F E$ 关于直线 $B E$ 对称.点 $G$ 在 $A B$ 边上， $G C$ 分别与 $B F ， B E$ 交于 $P ， Q$ 两点.若 $\frac{A B}{B C} = \frac{4}{5}$ ， $C E = C Q$ ，则 $\frac{G P}{C Q} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{9}{10}$

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22. 如图，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在 $△ A B C$ 的边上， $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{3}$ ， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ，点 $M$ 是 $D F$ 的中点，连接 $C M$ 并延长交 $A B$ 于点 $N$ ， $\frac{M N}{C M}$ 的值是（）.

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{7}$

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23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为

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24. 如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 2 A B = 8$ ，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE ，将 $△ E D C$ 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为 $α$ .
备用图

(1)、问题发现：
①当 $α = 0 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ .
②当 $α = 180 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ .

(2)、拓展探究：
当 $0 ° < α < 360 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？仅就图②的情形给出证明；

(3)、问题解决：
当 $△ E D C$ 旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

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25. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，点 $Q$ 为线段 $A P$ 的中点，过点 $P$ 向上作 $P M ⊥ A B$ ，且 $P M = 3 A Q$ ，以 $P Q$ 、 $P M$ 为边作矩形 $P Q N M$ ．设点 $P$ 的运动时间为（t>0）秒．

(1)、线段 $M P$ 的长为（用含的代数式表示）．

(2)、当点N恰好落在边 $B C$ 上时，求的值．

(3)、当点 $N$ 在 $Δ A B C$ 内部时，设矩形 $P Q N M$ 与 $Δ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与之间的函数关系式．

(4)、当点 $M$ 恰好落在 $Δ A B C$ 的角平分线上时，直接写出的值．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 中点，点 $E$ 在 $A C$ 上， $A D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ， $∠ A D C = ∠ B E C$ .

(1)、求证： $∠ E B C = ∠ D A C$ ；

(2)、若 $A D = B F$ ，求 $\frac{A D}{D F}$ 的值；

(3)、如图2，若 $A D = B F$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $E C = 2$ ，直接写出 $B E^{2}$ 的值.

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27. 如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．

(1)、求证：△AFC∽△CFD；

(2)、若AE＝2BE，求证：AF＝2CF；

(3)、如图②，若AB＝ $\sqrt{2}$ ， DE⊥BC，求 $\frac{B E}{A E}$ 的值。

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28. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，则 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过 $C$ 作 $C E ∥ D A$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、【直接应用】如图3， $△ A B C$ 中， $E$ 是 $B C$ 中点， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $E F ∥ A D$ 交 $A C$ 于 $F$ ．若 $A B = 11$ ， $A C = 15$ ，求线段 $F C$ 的长；

(3)、【拓展延伸】如图4， $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B C$ 的延长线交 $△ A B C$ 外角角平分线 $A F$ 于点 $F$ ．
①找出 $A B$ 、 $A C$ 、 $B F$ 、 $C F$ 这四条线段的比例关系，并证明；
②若 $B D = 2$ ， $C F = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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