2023年吉林省中考数学真题变式题：第四题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：二轮复习

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一、原题重现

1. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 根的判别式的值是（）

A、33 B、23 C、17 D、 $\sqrt{17}$

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二、变式基础练

2. 一元二次方程 $2 x^{2} + x - 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (m - 2) x - 3 = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定根的情况

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4. 下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）

A、 $x^{2} - x + 1 = 0$ B、 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ C、 $x^{2} + x - 1 = 0$ D、 $x^{2} + 4 = 0$

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5. 关于一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + \frac{3}{2} = 0$ 根的情况，下列说法中，正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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6. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m < \frac{3}{2}$ B、m>3 C、m≤3 D、m<3

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7. 关于x的方程x²+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）

A、m＝1 B、m＝﹣1 C、m＝2 D、m＝﹣2

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8. 若关于x的方程 $k x^{2} - 3 x - \frac{9}{4} = 0$ 有实数根，则实数k的取值范围是（）

A、 $k = 0$ B、 $k \geq - 1$ 且 $k \neq 0$ C、 $k \geq - 1$ D、 $k > - 1$

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9. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x + 1 = 0$ 没有实数根，则a的取值范围是.

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10. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + k$ +k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是.

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11. 设一元二次方程x²+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2，c= 1；②b=3，c= 1；③b=3，c=-1；④b=2，c=2．

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三、变式提升练

12. 已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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13. 关于x的一元二次方程kx²+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A、k≤﹣ $\frac{9}{4}$ B、k≤﹣ $\frac{9}{4}$ 且k≠0 C、k≥﹣ $\frac{9}{4}$ D、k≥﹣ $\frac{9}{4}$ 且k≠0

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14. 已知一元二次方程 $x^{2} + 6 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则m的值为．

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15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 没有实数根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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16. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + m = 0$ 没有实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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17. 关于x的方程x²﹣（n+2）x $+ \frac{1}{4}$ n²﹣1＝0有两个相等的实数根，则n＝．

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18. 在学习一元二次方程的根与系数的关系一课时，老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 的两实数根分别为x₁，x₂，若( $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 3 ，$ 求m的值，波波同学的解答过程如下：
解：由题意，得 $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 m - 1 ， \\ x_{1} x_{2} = m^{2} . \end{matrix}$

$： (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = 3 ，$
$∴ m^{2} + (2 m - 1) + 1 = 3 ，$ 解得 $m_{1} = - 3 ， m_{2} = 1$
波波的解法是否正确?若错误，请写出你的解答过程.

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19. 已知关于x的一元二次方程kx²-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.

(1)、求k的取值范围.

(2)、当k=1时，用配方法解方程.

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) = 0$

(1)、若该方程有实数根，求m的值.

(2)、对于函数 $y_{1} = x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) ，$ 当x>1时，y₁随x的增大而增大.
①求m的取值范围.
②若函数y₂=2x+n与函数y₁的图象相交于y轴上同一点，求n的最小值。

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四、变式培优练

21. 已知a，b是整数，关于x的方程x²-ax+3-6=0有两个不相等的实数根，x²+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根，x²+(4-a)x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．

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22. 已知关于x的方程(k-1)x²-2kx+k+2=0有实数根．

(1)、求k的取值范围．

(2)、若x₁ ， x₂是方程(k-1)x²-2kx+k+2=0的两个实数根，问：是否存在实数k，使其满足(k-1)x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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23. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x -$ $3 a$ (a、b是常数， $a \neq 0$ ）的图象过点 $(1 ， 1)$ .

(1)、用含 $a$ 的代数式表示 $b$ .

(2)、若 $a = - 1$ ，此二次函数的自变量 $x$ 满足 $m ⩽ x$ $⩽ m + 2$ 时，函数 $y$ 的最大值为3，求 $m$ 的值.

(3)、若该函数图象的顶点在第二象限，当 $a < b$ 时，求 $a + 2 b$ 的取值范围.

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24. 已知关于x的方程 $x^{2} + (3 k - 2) x - 6 k = 0$ ．

(1)、求证：无论 $k$ 取何实数值，方程总有实数根．

(2)、若等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a = 6$ ，另两边长 $b ， c$ 恰好是这个方程的两个根，求 $△ A B C$ 的周长．

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25. 已知关于 $x$ 的一元二次方程： $k^{2} x^{2} + (1 - 2 k) x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若原方程的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且满足 $| x_{1} | + | x_{2} | = 2 x_{1} x_{2} - 3$ ，求 $k$ 的值.

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