高中数学三轮复习（直击痛点）：专题17概率与统计的创新题型

试卷更新日期：2024-02-23 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 在区间 $[0 ， 1]$ 上任意取两个实数a，b，则函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + a x - b$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上有且仅有一个零点的概率为( )

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 在实数集R上随机取一个数x ，事件A=“sinx≥0， x∈[0，2 $π$ ]”，事件B=“ $\sin x + \sqrt{3} \cos x \leq 1$ ”，则P（B︱A）=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 从 $[- 6 ， 9]$ 中任取一个实数m，则直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 截得的弦长大于2的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 已知某随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $P (x) = {\begin{matrix} 0 ， x \leq 0 ， \\ e^{- x} ， x > 0 ， \end{matrix}$ 则随机变量 $X$ 落在区间 $(1 ， 3)$ 内在概率为（）

A、 $\frac{e + 1}{e^{2}}$ B、 $\frac{e^{2} - 1}{e^{3}}$ C、 $e^{2} - e$ D、 $e^{2} + e$

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5. 开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有 $80 %$ 的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率 $p_{n}$ ，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；② $p_{3} = 0.68$ ；③ $p_{n} = 0.2 p_{n - 1} + 0.8 (1 - p_{n - 1}) (n \geq 2, n \in N)$ ；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 $\frac{25}{2} n + \frac{25}{16} - \frac{25}{16} {(- \frac{3}{5})}^{n}$ .其中正确的是（）

A、②④ B、①②③ C、③④ D、②③④

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二、多项选择题

6. 如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为 $\frac{1}{4}$ ，跳向不相邻顶点的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为 $P_{n}^{}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、青蛙跳跃2次后位于B点的概率共 $\frac{1}{4}$ B、数列 ${P_{n}^{} - \frac{1}{4}}$ 是等比数列 C、青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于 $\frac{1}{4}$ D、存在整数 $n \in N_{}^{*}$ ，使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等

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三、填空题

7. 对于事件A与事件B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果 $B \subseteq A$ ，则P(AB)=.

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8. 羽毛球比赛中，采用三局二胜制，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为g，则q-p取得最大值时p=

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9. 甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 $a_{1}$ ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把 $a_{1}$ 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 $a_{1}$ 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数 $a_{2}$ ，对实数 $a_{2}$ 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数 $a_{3}$ ，当 $a_{3} > a_{1}$ 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为 $\frac{3}{4}$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围是．

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10. 已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、2个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 $n + 1$ 次从与第 $n$ 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第4次取出的球是红球的概率为．

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四、解答题

11. 学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第 $m (1 \leq m \leq 28 ， m \in N)$ 号同学得到球后传给 $m + 1$ 号同学的概率为 $\frac{2}{3}$ ，传给 $m + 2$ 号同学的概率为 $\frac{1}{3}$ ，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为 $\frac{1}{3}$ ， 30号同学投篮命中的概率为 $\frac{6}{7}$ ，设传球传到第 $n (2 \leq n \leq 30 ， n \in N)$ 号的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{4}$ 的值；

(2)、证明： ${P_{n + 1} - P_{n}} (2 \leq n \leq 28)$ 是等比数列；

(3)、比较29号和30号投篮命中的概率大小．

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12. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 $- 1$ 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每次踢球命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且各次踢球互不影响．

(1)、经过1轮踢球，记甲的得分为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(2)、若经过 $n$ 轮踢球，用 $p_{i}$ 表示经过第 $i$ 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

②规定 $p_{0} = 0$ ，且有 $p_{i} = A p_{i + 1} + B p_{i - 1}$ ，请根据①中 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值求出 $A$ 、 $B$ ，并求出数列 ${p_{n}}$ 的通项公式．

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13. 某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌 $R$ ，现取出 $n (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 瓶该规格溶液做实验，其中 $m$ 瓶含有细菌 $R$ ，实验需要把含有细菌 $R$ 的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验 $n$ 次；
方案二：混合检验，将 $n$ 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌 $R$ ，则 $n$ 瓶溶液全部不含有细菌 $R$ ；若检验结果含有细菌 $R$ ，就要对这 $n$ 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为 $n + 1$ .
参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ， $l n 5 \approx 1.61$ ， $l n 7 \approx 1.95$ .

(1)、假设 $n = 5$ ， $m = 2$ ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌 $R$ 的概率；

(2)、现对 $n$ 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 $R$ 的概率均为 $P (0 \leq P \leq 1)$ .若采用方案一，需检验的总次数为 $ξ$ ，若采用方案二，需检验的总次数为 $η$ .
①若 $ξ$ 与 $η$ 的期望相等，试用 $n$ 表示 $P$ ；
②若 $P = 1 - e^{- \frac{1}{4}}$ ，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求 $n$ 的最大值.

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14. 甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢 $m$ (常数 $m > 1$ )次就获胜，而乙要再赢 $n$ (常数 $n > m$ )次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行 $ξ$ 次抛币，游戏结束.

(1)、若 $m = 2$ ， $n = 3$ ，求概率 $P (ξ = 4)$ ；

(2)、若 $n = m + 2$ ，求概率 $P (ξ = m + k) (k = 2, 3, \cdot \cdot \cdot, m + 1)$ 的最大值(用 $m$ 表示).

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15. 心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.

(1)、在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到 $\frac{1}{2}$ ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为 $\frac{1}{4}$ ，求该选手在前3局获胜局数 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为 $\sin A 、 \sin B 、 \sin C$ ，记 $A 、 B 、 C$ 为锐角 $Δ A B C$ 的内角，求证： $\sin A + \sin B + \sin C - \sin A \sin B - \sin A \sin C - \sin B \sin C + \sin A \sin B \sin C < 1$

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16. 某花卉经销商销售某种鲜花，售价为每支5元，成本为每支2元．销售宗旨是当天进货当天销售．当天未售出的当垃圾处理．根据以往的销售情况，按 $[0 ， 100)$ $[100 ， 200)$ $[200 ， 300)$ $[300 ， 400)$ $[400 ， 500)$ 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图计算该种鲜花日需求量的平均数 $\bar{x}$ ，同一组中的数据用该组区间中点值代表；

(2)、该经销商某天购进了400支这种鲜花，假设当天的需求量为x枝， $0 \leq x \leq 500$ ，利润为y元，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 $y$ 不小于800元的概率．

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17. 2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值

k (k \in [70 ， 100])

为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．

质量指标值 $k$	$90 \leq k \leq 100$	$85 \leq k < 90$	$80 \leq k < 85$	$75 \leq k < 80$	$70 \leq k < 75$
产品等级	废品	合格	良好	优秀	良好

(1)、若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值

k \in [90 ， 95)

的件数

X

的分布列及数学期望；

(2)、将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件

A

．求事件

A

发生的概率；

(3)、若每件产品的质量指标值

k

与利润

y

（单位：元）的关系如下表所示；（

1 < t < 4

）

质量指标值 $k$	$90 \leq k \leq 100$	$85 \leq k < 90$	$80 \leq k < 85$	$75 \leq k < 80$	$70 \leq k < 75$
利润	$- e^{t}$	$t$	$3 t$	$5 t$	$3 t$

试确定 $t$ 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值： $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ）

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18. 口袋中装有2个白球和n（n≥2，n $\in$ N*）个红球．每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．
（I）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；
（III）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．

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19. 有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $P_{n}$ .

(1)、求 $P_{0}$ ， $P_{1}$ ， $P_{2}$ ；

(2)、写出 $P_{n}_{}$ 与 $P_{n - 1}$ 、 $P_{n - 2}$ 的递推关系 $2 \leq n \leq 99$ ）；

(3)、求玩该游戏获胜的概率.

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20. 某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为 $\frac{2}{5}$ ，摸取其余3种风筝的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为 $X$ 分，求 $X$ 的分布列与期望；

(2)、假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为 $1 ， 2 ， 3 ， ⋯$ 中的任意一个数，记乙累计得 $n$ 分的概率为 $P (n)$ ，当 $n ⩾ 3$ 时，求 $P (n)$ .

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21. 甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人.

(1)、当传球3次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；

(2)、求第 $n$ 次传球后球恰好在甲手上的概率.

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22. 为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第 $i$ 天选择汽修培训的概率是 $p_{i}$ ( $i = 1$ ，2，3，…，7).

(1)、求 $p_{3}$ ；

(2)、证明： ${p_{i} - 0.5}$ ( $i = 1$ ，2，3，…，7)为等比数列；

(3)、试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望( ${0.2}^{7}$ 近似看作0).

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23. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.

(1)、设抛掷5次的得分为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E ξ$ ；

(2)、求恰好得到 $n (n \in N^{*})$ 分的概率.

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