高中数学三轮复习（直击痛点）：专题16立体几何中范围和最值问题

试卷更新日期：2024-02-23 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体表面BCC₁B₁上的一个动点，E ， F分别为BD₁的三等分点，则 $| P E | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $1 + \sqrt{6}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

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2. 已知平面上两定点 $A$ 、 $B$ ，则所有满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）的点 $P$ 的轨迹是一个圆心在 $A B$ 上，半径为 $| \frac{λ}{1 - λ^{2}} | \cdot | A B |$ 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上动点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{4 π}{3} + \sqrt{3} π$ C、 $\frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{2}$ D、 $(2 + \sqrt{3}) π$

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3. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} > A B$ ， E ， F分别是侧棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 上的动点，且平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小为 $30 °$ ，则线段 $B E$ 的长的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 如图，二面角 $α - m - β$ 的平面角的大小为 $12 0^{∘} ， A ， B$ 为半平面 $α$ 内的两个点， $C$ 为半平面 $β$ 内一点，且 $A C = B C = \sqrt{3}$ ，若直线 $B C$ 与平面 $α$ 所成角为 $3 0^{∘} ， D$ 为 $B C$ 的中点，则线段 $A D$ 长度的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{4}$

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5. 传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， $O_{1} ， O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心， $O$ 为球心， $E F$ 为底面圆 $O_{1}$ 的一条直径，若球的半径 $r = 2$ ，则（）

A、球与圆柱的表面积之比为 $1 ： 2$ B、平面 $D E F$ 截得球的截面面积取值范围为 $[\frac{6 π}{5} ， 16 π]$ C、四面体 $C D E F$ 的体积的最大值为16 D、若 $P$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $P E + P F$ 的取值范围 $[2 + 2 \sqrt{5} ， 4 \sqrt{3}]$

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6. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是表面积为 $20 π$ 的球面上四点， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则线段 $C D$ 长度的取值范围为（）

A、 $[3 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{5}]$ B、 $[\sqrt{10} ， 2 \sqrt{3}]$ C、 $[\sqrt{10} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{5}]$

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7. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 外接球表面积为 $S$ ，体积为 $V ， P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = 4 ， ∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，且 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \leq V$ ，则 $S$ 的取值范围是（）

A、 $10 π \leq S$ B、 $20 π \leq S$ C、 $10 \sqrt{3} π \leq S$ D、 $20 \sqrt{3} π \leq S$

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8. 平面直角坐标系中，若两点 $S (x_{1} ， y_{1}) ， T (x_{2} ， y_{2})$ ，满足 $| x_{1} - x_{2} | \geq 1$ 或 $| y_{1} - y_{2} | \geq 1$ ，则称点S和点T保持了合理间距．正方形 $O A B C$ 中，顶点 $O (0 ， 0) ， A (3 ， 0) ， B (3 ， 3) ， C (0 ， 3)$ ，动点P，Q都在正方形 $O A B C$ 内（包括边界），且点P在抛物线 $y = x^{2}$ 上，则下列说法错误的是（）

A、若点P与点O，A，B都保持了合理间距，则点P的横坐标的取值范围是 $[1 ， \sqrt{3}]$ B、若点Q与点O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积为6 C、若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最大值为6 D、若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最小值为 $[1 + \sqrt{3}]$

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二、多项选择题

9. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是线段 $A D_{1}$ 的中点，点M，N满足 $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} C} ， \vec{B_{1} N} = μ \vec{B_{1} C_{1}}$ ，其中 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，则（）

A、存在 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，使得 $E M ⊥ E N$ B、 $M N$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、当 $λ = \frac{1}{2} ， μ = \frac{3}{4}$ 时，直线 $D_{1} M$ 与平面 $M E N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ D、当 $λ = \frac{1}{2} ， μ = \frac{2}{3}$ 时，过E，M，N三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$

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10. 如图，棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 、 $N$ 满足 $\vec{A M} = λ \vec{A C_{1}}$ ， $\vec{C N} = μ \vec{C D}$ ，其中 $λ$ 、 $μ \in (0 ， 1)$ ，点 $P$ 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $D M$ ∥平面 $C B_{1} D_{1}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，若 $B_{1} P$ ∥平面 $A_{1} N C_{1}$ ，则 $| B_{1} P |$ 的最大值为 $3 \sqrt{5}$ C、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，若 $P M ⊥ D_{1} N$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $12 + 6 \sqrt{5}$ D、过A、 $M$ 、 $N$ 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形． $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = \sqrt{3}$ ，点 $E$ 是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面 $P C D$ 内一点，则（）

A、存在点 $E$ ，使 $A E / /$ 平面 $P C D$ B、存在点 $E$ ，使 $P B ⊥$ 平面 $A C E$ C、 $A E + E F$ 的最小值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、以 $D$ 为球心，半径为1的球与四棱锥 $P - A B C D$ 的四个侧面的交线长为 $\frac{4 π}{3}$

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12. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为2，点D是棱 $B B_{1}$ 上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是（）

A、棱 $A_{1} C_{1}$ 上总存在点E，使得直线 $B_{1} E / /$ 平面 $A D C_{1}$ B、 $△ A D C_{1}$ 的周长有最小值，但无最大值 C、三棱锥 $A - D C_{1} C$ 外接球的表面积的取值范围是 $[\frac{25 π}{3} ， \frac{28 π}{3})$ D、当点D是棱 $B B_{1}$ 的中点时，二面角 $A - D C_{1} - C$ 的正切值为 $\sqrt{15}$

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13. 已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（）

A、一定不是正方体 B、外接球的表面积为 $6 π$ C、长、宽、高的值均属于区间 $[1 ， 2]$ D、体积的取值范围为 $[\frac{50}{27} ， 2]$

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14. 如图，在边长为2的正方形AP₁P₂P₃中，线段BC的端点B，C分别在边P₁P₂ ， P₂P₃上滑动，且P₂B＝P₂C＝x。现将△AP₁B，△AP₃C分别沿AB，CA折起使点P₁ ， P₃重合，重合后记为点P，得到三棱锥P－ABC。现有以下结论：（）

A、AP⊥平面PBC B、当B，C分别为P₁P₂ ， P₂P₃的中点时，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为6π C、x的取值范围为(0，4－2 $\sqrt{2}$ ) D、三棱锥P－ABC体积的最大值为 $\frac{1}{3}$

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15. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $O_{1}$ 的一条直径，若球的半径 $r = 2$ ，则（）

A、球与圆柱的体积之比为 $2 ： 3$ B、四面体CDEF的体积的取值范围为 $(0 ， 32]$ C、平面DEF截得球的截面面积最小值为 $\frac{4 π}{5}$ D、若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $P E + P F$ 的取值范围为 $[2 + 2 \sqrt{5} ， 4 \sqrt{3}]$

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16. 如图，圆锥 $V A B$ 内有一个内切球 $O$ ，球 $O$ 与母线 $V A ， V B$ 分别切于点 $C ， D$ .若 $△ V A B$ 是边长为2的等边三角形， $O_{1}$ 为圆锥底面圆的中心， $M N$ 为圆 $O_{1}$ 的一条直径（ $M N$ 与 $A B$ 不重合），则下列说法正确的是（）

A、球的表面积与圆锥的侧面积之比为 $2 ： 3$ B、平面 $C M N$ 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C、四面体 $C D M N$ 的体积的取值范围是 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、若 $P$ 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 $P M + P N$ 最大值为 $2 \sqrt{2}$

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17. 很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为 $\sqrt{2}$ 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则下列各选项正确的是（）

A、该半正多面体的体积为 $\frac{20}{3}$ B、A，C，D，F四点共面 C、该半正多面体外接球的表面积为 $12 π$ D、若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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18. 已知三棱锥D－ABC的外接球的表面积为24π，直角三角形ABC的斜边 $A B = 2 \sqrt{5} ， A C = 2$ ， CD⊥BC，则（）

A、BC⊥平面ACD B、点D的轨迹的长度为2π C、线段CD长的取值范围为（0，2 $\sqrt{2}$ ] D、三棱锥D－ABC体积的最大值为 $\frac{4 (\sqrt{2} + 1)}{3}$

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19. 如图，圆锥 $S O$ 的底面圆 $O$ 的直径 $A C = 4$ ，母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A$ ， $C$ 的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $S C$ 与底面所成角为45° B、圆锥 $S O$ 的表面积为 $4 \sqrt{2} π$ C、 $∠ S A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ D、若点 $B$ 为弧 $A C$ 的中点，则二面角 $S - B C - O$ 的平面角大小为45°

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20. 在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把 $△ A E B$ ， $△ A F D$ 和 $△ E F C$ 折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥 $P - A E F$ ，如图2所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $P A ⊥ E F$ B、三棱锥 $M - A E F$ 的体积为4 C、三棱锥 $P - A E F$ 外接球的表面积为 $24 π$ D、过点M的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球所得截面的面积的取值范围为 $[π ， 6 π]$

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三、填空题

21. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M是棱BC的中点.

(1)、若点N为棱 $C C_{1}$ 的中点，则平面AMN截正方体的截面的面积为；

(2)、若点N是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，则点 $A_{1}$ 到平面AMN的距离的最小值为.

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22. 若正四面体 $S A B C$ 的棱长为3，平面ABC内有一动点P到平面 $S A B$ 、平面 $S B C$ 、平面 $S C A$ 的距离依次成等差数列，则点P在面 $A B C$ 内的轨迹的长度为.

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23. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，动点 $P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内，且AP与 $A A_{1}$ 所成角为 $3 0^{°}$ ，则 $C_{1} P$ 长度的最小值为.

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24. 已知正四面体 $A - B C D$ 的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体 $A - B C D$ 表面上任意一点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值为．

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25. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D ， C D ⊥ A D ， A B = B D = \sqrt{2}$ ，已知动点 $E$ 从 $C$ 点出发，沿外表面经过棱 $A D$ 上一点到点 $B$ 的最短距离为 $\sqrt{10}$ ，则该棱锥的外接球的体积为．

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26. 已知矩形 $A B C D ， A B = 2 ， B C = 3$ ，设E是边 $A D$ 上的一点，且 $A E = 2 D E$ ．现将 $△ A B E$ 沿着直线 $B E$ 翻折至 $△ A^{^{'}} B E$ ，设二面角 $A^{'} - C D - B$ 的大小为 $θ (0 < θ < π)$ ，则 $s i n θ$ 的最大值是．

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27. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P B = P C = \sqrt{5}$ 是等腰三角形，则平面 $P A D$ 上任意一点到底面 $A B C D$ 中心距离的最小值为.

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28. 如图，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，上下底面分别是边长为4，6的正方形，若 $| A A_{1} | \in [\sqrt{3} ， 3 \sqrt{3}]$ ，则该棱台外接球表面积的取值范围是．

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四、解答题

29. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ， E为AB的中点．将 $△ A D E$ 沿DE折起，使A到达 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ， $A^{'} C$ ，得到四棱锥 $A^{^{'}} - B C D E$ ．

(1)、证明： $D E ⊥ A^{^{'}} B$ ；

(2)、当二面角 $A^{'} - D E - B$ 的平面角在 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 内变化时，求直线 $A^{'} C$ 与平面 $A^{^{'}} D E$ 所成角的正弦值的取值范围．

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30. 如图，点 $E$ 在 $△ A B C$ 内， $D E$ 是三棱锥 $D - A B C$ 的高，且 $D E = 2$ ． $△ A B C$ 是边长为 $6$ 的正三角形， $D B = D C = 5$ ， $F$ 为 $B C$ 中点.

(1)、证明：点 $E$ 在 $A F$ 上.

(2)、点 $G$ 是棱 $A C$ 上的一点（不含端点），求平面 $D E G$ 与平面 $B C D$ 夹角余弦值的最大值.

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31. 如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O， $O_{1}$ ，矩形 $A B C D$ 为该圆柱的轴截面， $A B = 2 A D$ ，点E在底面圆周上，点G为 $A D$ 的中点.

(1)、若 $∠ E O_{1} A = \frac{π}{3}$ ，试问线段 $E D$ 上是否存在点F，使得 $A F ⊥ O_{1} G$ ?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $O D E$ 夹角的正弦值的最大值.

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32. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $10 {(s i n \frac{B + C}{2})}^{2} = 7 - c o s 2 A$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2 ， c = 1$ ，
① $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于M，求线段 $A M$ 的长；
②若D是线段 $B C$ 上的点，E是线段 $B A$ 上的点，满足 $\vec{C D} = λ \vec{C B} ， \vec{B E} = λ \vec{B A}$ ，求 $\vec{A D} \cdot \vec{C E}$ 的取值范围．

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