高中数学三轮复习（直击痛点）：专题15空间几何体的外接球

试卷更新日期：2024-02-23 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = \sqrt{5}$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， D为BC 的中点且 $P D = 2 \sqrt{2} ，$ 当 $△ A B C$ 为正三角形时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $\frac{31 π}{3}$ C、 $4 π$ D、 $\frac{31 π}{12}$

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2. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为等腰三角形， $∠ A B C = 120 °$ ，且 $A C = P A$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A ⊥ B C$ ，点 $Q$ 为三棱锥 $P - A B C$ 外接球 $O$ 上一动点，且点 $Q$ 到平面 $P A C$ 的距离的最大值为 $1 + \sqrt{7}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $7 π$ B、 $14 π$ C、 $28 π$ D、 $35 π$

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3. 下列物体不能被半径为2(单位： $m$ )的球体完全容纳的有（）

A、所有棱长均为 $2 \sqrt{2} m$ 的四面体 B、底面直径为1.6m，高为3.6m的圆柱 C、上、下底面的边长分别为1m，2m，高为3m的正四棱台 D、底面棱长为1m，高为3.8m的正六棱雉

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4. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{2} ， ∠ B A C = 12 0^{0} ， P B = P C = 2 \sqrt{6} ， P A = 2 \sqrt{5}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $40 π$ B、 $20 π$ C、 $80 π$ D、 $60 π$

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5. 五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=3， $\vec{A B} = 3 \vec{E F}$ ， △ADE与 $△ B C F$ 都是边长为2的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{27}{2} π$ B、 $9 π$ C、 $\frac{27}{4} π$ D、 $\frac{9}{2} π$

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6. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A D C = 9 0^{∘}$ ，二面角 $D - A C - B$ 的平面角为 $3 0^{∘}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 外接球表面积的最小值为（）

A、 $16 (2 \sqrt{3} - 1) π$ B、 $16 (2 \sqrt{3} - 3) π$ C、 $16 (2 \sqrt{3} + 1) π$ D、 $16 (2 \sqrt{3} + 3) π$

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7. 在五面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 A D = 2$ ， $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 均为等边三角形， $E F ∥ C D$ ， $E F = 3$ ，则该五面体的外接球的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{38}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{19}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{38}}{2}$

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8. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 在上底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ （包括边界）上运动，则三棱锥 $D - A B C$ 的外接球体积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2} π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $\sqrt{6} π$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$

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9. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B$ ， $P A = \sqrt{2}$ ， $A B = 2 B C = 2$ ，二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $\frac{3 π}{4}$ ．若三棱锥 $P - A B C$ 的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥 $P - A B C$ 的体积最大时，球O的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ B、 $\sqrt{6} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{7 \sqrt{14}}{3} π$

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10. 在边长为6的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，现将菱形 $A B C D$ 沿对角线BD折起，当 $A C = 3 \sqrt{6}$ 时，三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $24 π$ B、 $48 π$ C、 $60 π$ D、 $72 π$

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11. 如图，平面四边形ABCD中， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $△ A C D$ 为正三角形，以AC为折痕将 $△ A C D$ 折起，使D点达到P点位置，且二面角 $P - A C - B$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，当三棱锥 $P - A B C$ 的体积取得最大值，且最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $\sqrt{6} π$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $B = \frac{π}{2}$ ， $B C = 1$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，若将 $△ B C D$ 沿着直线 $B D$ 翻折至 $△ B C^{'} D$ ，使得四面体 $C^{'} - A B D$ 的外接球半径为 $1$ ，则直线 $B C^{'}$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、填空题

13. 已知圆锥 $S O$ 的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为 $\sqrt{3} ， A B$ 为底面圆 $O$ 的一条直径， $C$ 为圆 $O$ 上的一个动点（不与 $A ， B$ 重合），则三棱锥 $S - A B C$ 的外接球表面积为.

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14. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点均在同一球面上， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P C = B C = \sqrt{6}$ ， $A B = 2 \sqrt{6}$ ，且 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则该球的表面积为.

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15. 已知正 $△ A B C$ 边长为1，将 $△ A B C$ 绕 $B C$ 旋转至 $△ D B C$ ，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 的外接球表面积为．

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16. 已知侧面积为 $8 \sqrt{5} π$ 的圆锥内接于球O ，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，则球O的表面积为.

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17. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A B D = ∠ A B C = 60 °$ ， $B C = B D = 2$ ， $A B = 4$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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18. 已知点 $S ， A ， B ， C$ 均在半径为2的球面上， $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ，则 $S A =$ ．

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19. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，其外接球的表面积为 $20 π$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $C D \in [m ， n]$ ，则 $m + n$ 为.

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三、多项选择题

20. 下列物体，能够被半径为 $2 m$ 的球体完全容纳的有（）

A、所有棱长均为 $3 m$ 的四面体 B、底面棱长为 $1 m$ ，高为 $3.6 m$ 的正六棱锥 C、底面直径为 $1.6 m$ ，高为 $3.8 m$ 的圆柱 D、上､下底面的边长分别为 $1 m ， 2 m$ ，高为 $3 m$ 的正四棱台

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21. 如图，在矩形 $A E F C$ 中， $A E = 2 \sqrt{3}$ ， $E F = 4$ ， $B$ 为 $E F$ 中点，现分别沿 $A B$ 、 $B C$ 将 $△ A B E$ 、 $△ B C F$ 翻折，使点 $E$ 、 $F$ 重合，记为点 $P$ ，翻折后得到三棱锥 $P - A B C$ ，则（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、直线 $P A$ 与直线 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 外接球的半径为 $\frac{\sqrt{22}}{2}$

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22. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ （不包含端点）上，则下列结论正确的有（）个

A、点 $B_{1}$ 在平面 $A C D_{1}$ 的射影为 $△ A C D_{1}$ 的中心； B、直线 $B M / /$ 平面 $A C D_{1}$ ； C、异面直线 $B_{1} D$ 与 $B M$ 所成角不可能为 $\frac{π}{3}$ ； D、三棱锥 $A - C M D_{1}$ 的外接球表面积的取值范围为 $[\frac{31 π}{3} ， 12 π]$ ．

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23. 已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为2，下列说法正确的是（）

A、正四面体 $P - A B C$ 的外接球表面积为 $6 π$ B、正四面体 $P - A B C$ 内任意一点到四个面的距离之和为定值 C、正四面体 $P - A B C$ 的相邻两个面所成二面角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、正四面体 $Q - M N G$ 在正四面体 $P - A B C$ 的内部，且可以任意转动，则正四面体 $Q - M N G$ 的体积最大值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{81}$

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24. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，正四面体 $E - F G H$ 的棱长为a ，则以下说法正确的是（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球直径为4 B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球直径为 $4 \sqrt{2}$ C、若正四面体 $E - F G H$ 可以放入正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内自由旋转，则a的最大值是 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 可以放入正四面体 $E - F G H$ 内自由旋转，则a的最小值是 $12 \sqrt{2}$

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25. 如图，若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $M$ 是正方体在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的一个动点 $($ 含边界 $)$ ，点 $P$ 是 $A A_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $P - D D_{1} M$ 的体积为定值 B、四棱锥 $P - B D D_{1} B_{1}$ 外接球的半径为 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ C、若 $D_{1} M ⊥ D P$ ，则 $A_{1} M$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、若 $D_{1} M ⊥ D P$ ，则 $A_{1} M$ 的最小值为 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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四、解答题

26. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A D$ ， $M$ 是 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $M A C$ ；

(2)、若正四棱柱的外接球的表面积是 $24 π$ ，求三棱锥 $D_{1} - M A C$ 的体积.

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27. 如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

(1)、以r为变量，表示圆柱的表面积 $S_{柱}$ 和体积 $V_{柱}$ ；

(2)、当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

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28. 如图①，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为AB，BC，BB₁ ，的中点．

(1)、求证：平面EFG⊥平面BB₁D₁D；

(2)、将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是 $\frac{160}{3}$ ，求该正方体的棱长．

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29. 如图，在三棱推 $P - A B C$ 中，高 $P C = 4$ （ $P C ⊥$ 底面 $A B C$ ）， $A B = B C = 3 ， ∠ A B C = 120 °$ ．

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 的体积；

(2)、求三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积．

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30.

(1)、已知三棱锥 $S - ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $Δ ABC$ 是边长为1的正三角形， $SC$ 为球 $O$ 的直径，且 $SC = 2$ ，求此棱锥的体积.

(2)、已知 $A$ ， $B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $∠ AOB = 90 °$ ， $C$ 为该球面上的动点 $.$ 若三棱锥 $O - ABC$ 体积的最大值为36，求球 $O$ 的表面积.

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31. 已知正三棱锥的侧棱长为2，底面边长为1，且正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求三棱锥体积与内切球的表面积.

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32. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = 3$ ，其外接球的表面积为 $17 π$ ，过 $A_{1}$ ､ $C_{1}$ ､B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 $A B C D - A_{1} C_{1} D_{1}$ ，且这个几何体的体积为10.

(1)、求棱 $A A_{1}$ 的长：

(2)、求几何体 $A B C D - A_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积.

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33. 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

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34. 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：

(1)、三棱锥A′﹣BC′D的体积．

(2)、若球O₁使得其与三棱锥A′﹣BC′D的六条棱都相切，三棱锥A′﹣BC′D外接球为O₂ ，内切球为O₃ ，求球O₁ ， O₂ ， O₃半径的比值．

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35. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积．

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