备考2024年高考数学提升专题特训：概率与统计

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 某市为了了解校园安全教育系列活动的成效，对全市高中生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”､“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化，现随机抽取部分高中生的答卷，统计结果如下，对应的频率分布直方图如图所示.
等级
不合格
合格
得分
$[20 ， 40)$
$[40 ， 60)$
$[60 ， 80)$
$[80 ， 100)$
频数
12
$x$
48
24

(1)、求 $x ､ z$ 的值；

(2)、估计该市高中生测试成绩评定等级为“合格”的概率；

(3)、在抽取的答卷中，用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的答卷中抽取5份，再从这5份答卷中任取2份，求恰有1份评定等级为“不合格”的概率

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2. 有2(甲、乙)人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每层楼离开电梯是等可能的.

(1)、求这两个人在不同层离开电梯的概率；

(2)、甲先于乙离开电梯的概率.

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3. 随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为 $ζ$ .
求：

(1)、当 $ζ = 4$ 时，甲赢得比赛的概率；

(2)、 $ζ$ 的数学期望.
附：当 $0 < q < 1$ 时， $\underset{n \to + \infty}{l i m} q^{n} = 0 ， \underset{n \to + \infty}{l i m} n \cdot q^{n} = 0$ .

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4. 某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．

(1)、假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求 $P (X ≥ 2)$ ，并说明上述监控生产过程规定的合理性；

(2)、该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为 $1 - p$ ．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．
参考数据： $0.9 8^{10} \approx 0.82 ， 0.9 8^{9} \approx 0.83 ， 0.9 8^{8} \approx 0.85$ ．

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5. 红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径 $x_{i}$ （单位：厘米），如下表：
$i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
$x_{i}$
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
计算得： $\sum_{i = 1}^{12} x_{i} = 360 ， \sum_{i = 1}^{12} x_{i}^{2} = 10992$ .

(1)、求这12棵红松树的树干直径的样本均值 $μ$ 与样本方差 $s^{2}$ .

(2)、假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件 $A$ ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间 $[22 ， 38]$ .
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求 $P (A)$ ；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布 $N (30 ， 8^{2})$ .在这个条件下，求 $P (A)$ ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若 $Y \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| Y - μ | ⩽ σ) \approx 0.6827 ， P (| Y - μ | ⩽ 2 σ) \approx 0.9545 ， P (| Y - μ | ⩽ 3 σ) \approx 0.9973$ .
参考数据： $0.682 7^{12} \approx 0.01 ， 0.954 5^{12} \approx 0.57 ， 0.997 3^{12} \approx 0.97$ .

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6. 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如右图所示．

(1)、用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(2)、可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ ， σ²)（用样本平均数和标准差s分别作为μ、σ的近似值），已知样本标准差s≈7.36，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）

(3)、从得分区间[80，90)和[90，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[80，90)的概率．
参考数据：若X~N(μ ， σ²)，则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.95，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.99.

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7. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：

(1)、根据表中数据，采用小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？

(2)、为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；

(3)、将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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8. 为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班 $40$ 名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

(1)、求该班学生周末的学习时间不少于 $20$ 小时的人数；

(2)、估计这 $40$ 名同学周末学习时间的 $25 %$ 分位数；

(3)、如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．

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9. 为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.

(1)、估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)、用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；

(3)、若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.

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10. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 $100$ 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $100$ 位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[80 ， 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80 ， 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望.
附参考数据：若，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ .

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11. 2023年，在第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议上教育部关于考试招生制度改革情况的报告中提出：改革考试内容和形式，实现从“考知识”向“考能力素养”转变；探索拔尖创新人才超常规选鉴通道，设立清华大学数学科学领军人才培养计划､北京大学物理卓越人才培养计划等专项计划，推进拔尖创新人才选拔培养.为此，各地区高中积极推进“强基计划”的落实，“强基培训”成为学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否参加“强基培训”的情况，经统计，“强基培训”与性别情况如下表：（单位：人）
参加“强基培训”
不参加“强基培训”
男生
25
35
女生
5
25

(1)、根据表中数据并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析参加“强基培训”与性别是否有关联？

(2)、在本校被调研的90位考生中，先对多加“强基培训”的30人采用分层抽样的方法抽取6位同学，然后从这6名同学中选拔2人参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试，求有女生参加北京大学物理卓越人才培养计划专项计划的招生考试的概率.
$附： K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d .$
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

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12. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（ $x$ 分钟/每天）和他们的数学成绕（ $y$ 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号
1
2
3
4
5
学习时间 $x$
30
40
50
60
70
数学成绩 $y$
65
78
85
99
108

(1)、请根据所给数据求出 $x$ ， $y$ 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 22820$ ， $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 435$ ， $x_{i}$ 的方差为200）

(2)、基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到 $2 \times 2$ 列联表（表二）．依据表中数据及小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二

没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) \cdot (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ． $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13. 2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，两种方案如下：
方案一：公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；
方案二：公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过的部分每头猪收费标准为8元.

(1)、设日收费为 $y$ （单位：元），每天需要用药的猪的数量为 $n$ （单位：头），试写出两种方案中 $y$ 与 $n$ 的函数关系式；

(2)、若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量（单位：头）进行了统计，得到了如下的列联表：

9月份
10月份
合计
未发病
40
85
125
发病
65
20
85
合计
105
105
210
根据以上列联表判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828

(3)、当地的丙养殖场对过去100天的猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形图.依据该统计数据，把频率视为概率，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验，从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，请说明理由.

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14. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 $100$ 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $100$ 位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[80 ， 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80 ， 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望.
附参考数据：若，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ .

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15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40 ， 50)$ $[50 ， 60)$ ， …， $[90 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、求样本成绩的第75百分位数；

(3)、已知落在 $[50 ， 60)$ 的平均成绩是54，方差是7，落在 $[60 ， 70)$ 的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ .

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16. 随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》，为选拔和培养科技创新型人才做好准备．某调研机构调查了 $A$ 、 $B$ 两个参加国内学科竞赛的中学，从 $A$ 、 $B$ 两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，统计结果如下：

未获得区前三名及以上名次
获得区前三名及以上名次
$A$ 中学
11
6
$B$ 中学
34
9

(1)、依据 $α = 0.10$ 的独立性检验，能否认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？

(2)、用分层随机抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，记所选的3人中有 $X$ 人来自 $A$ 中学，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + c)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.10$
$0.05$
$0.025$
$0.010$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$

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17. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 $(a_{1} ， a_{2} ， a_{3})$ 表示，其中 $a_{i} \in {0 ， 1} (1 \leq i \leq 3 ， i \in N)$ ．而在n维空间中 $(n \geq 2 ， n \in N)$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 $(a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ⋯ ， a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in {0 ， 1} (1 \leq i \leq n ， i \in N)$ ．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 $(a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ⋯ ， a_{n})$ 与 $(b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， ⋯ ⋯ ， b_{n})$ 坐标差的绝对值之和，即为 $| a_{1} - b_{1} | + | a_{2} - b_{2} | + | a_{3} - b_{3} | + ⋯ ⋯ + | a_{n} - b_{n} |$ ．回答下列问题：

(1)、求出n维“立方体”的顶点数；

(2)、在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于 $0.25 n^{2}$ ．
（已知对于正态分布 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ， P随X变化关系可表示为 $φ_{μ ， σ} (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ）

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18. 新高考改革后广西壮族自治区采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门.
附： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

(1)、若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；

(2)、某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布 $N (240 ， 6 0^{2})$ .
①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.

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19. 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.

(1)、现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

(2)、以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记 $ξ$ 表示抽到一等品的箱数，求 $ξ$ 的分布列和期望.

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20. “盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．

(1)、共有多少种不同的放法？请列举出来；

(2)、求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．

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21. 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
人数
4
5
8
5
3
年龄
[45，50）
[50，55）
[55，60）
[60，65）
[65，70）
人数
6
7
3
5
4
年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．

(1)、求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；

(2)、求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；

(3)、若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X的分布列和数学期望．

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22.

(1)、求 $4^{15}$ 除以15的余数；

(2)、若 ${(2 x - 1)}^{8} - 1 = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7} + a_{8} x^{8}$ ，求 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8}$ 的值；

(3)、求 ${(\frac{x}{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{12}$ 展开式中系数最大的项．

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