备考2024年高考数学提升专题特训：平面解析几何

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 如图， $M A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形，且 $M A = A B = a$ ，试求：

(1)、点 $M$ 到 $B D$ 的距离；

(2)、求异面直线 $M B$ 与 $A C$ 所成的角.

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上､下顶点分别为 $A ， B$ ，短轴长为 $2 ， P$ 在 $C$ 上（不与 $A ， B$ 重合），且 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $P A ， P B$ 分别交直线 $y = 2$ 于 $D ， E$ 两点，连接 $D B$ 交 $C$ 于另一点 $M$ ，证明：直线 $M E$ 过定点.

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 t + 1 ， \\ y = 2 t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），以左边原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ s i n θ + 3 = 0$ ．

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程以及曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、过直线 $l$ 上一点 $A$ 作曲线 $C$ 的切线，切点为 $B$ ，求 $| A B |$ 的最小值．

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4. 已知点 $F (0 ， \sqrt{3})$ 和直线 $l ： y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，动点 $T$ 到点 $F$ 的距离与到直线 $l$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求动点 $T$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A (1 ， 2)$ 的直线交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，若点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，直线 $B P ， B Q$ 与 $y$ 轴的交点分别是 $M ， N$ ，证明：线段 $M N$ 的中点为定点.

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5. 已知双曲线 $C$ 的实轴长为4，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有公共的焦点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M (5 ， 0)$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上的任意一点，求 $| P M |$ 的最小值．

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6. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2 ， 4) ， B (4 ， - 6) ， C (5 ， 1)$ .

(1)、求 $A B$ 边上的中线所在直线的方程；

(2)、求经过点 $A$ ，且在 $x$ 轴上的截距和 $y$ 轴上的截距相等的直线的方程.

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (2 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，点M满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，记 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 6 y + 8 = 0$ ，若直线l过圆 $C_{1}$ 的圆心且与曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，且 $| P Q | = 2$ ，求直线l的方程.

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8. 某圆拱桥的水面跨度16m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，问这条船能否通过?

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9. 已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 25$ ．

(1)、设点 $M (- 1 ， \frac{3}{2})$ ，过点M作直线l与圆C交于A ， B两点，若 $| A B | = 8$ ，求直线l的方程；

(2)、设P是直线 $x + y + 6 = 0$ 上的点，过P点作圆C的切线PA ， PB ，切点为A ， B ，求证：经过A ， P ， C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

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10. 已知圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 3)$ 和 $B (5 ， 1)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 经过点 $(0 ， 3)$ ，且 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

(3)、 $P$ 为圆上任意一点，在(1)的条件下，求 $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2}$ 的最小值.

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）经过点 $(1 ， - 1)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程及其焦点坐标、准线方程；

(2)、过抛物线 $C$ 上一动点 $P$ 作圆 $M$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的一条切线，切点为 $A$ ，求切线长 $| P A |$ 的最小值.

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 左焦点 $F_{1}$ 、右顶点 $M$ ，过 $F_{1}$ 且斜率为 $\sqrt{5}$ 的直线l与椭圆交于 $A ， B$ 两点，求 $△ A B M$ 的面积.

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13. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，且顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .已知直线 $l$ 过点 $(0 ， - 1)$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左，右两支的交点分别为 $M ， N$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的渐近线的交点为 $P ， Q$ ，其中点 $Q$ 在 $y$ 轴的右侧.设 $△ O M P ， △ O P Q ， △ O Q N$ 的面积分别是 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求 $\frac{S_{2}}{S_{1} + S_{3}}$ 的取值范围.

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14. 设椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B$ ，左焦点为 $F$ ．且 $B ， F$ 在直线 $x - y + 2 = 0$ 上．

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $E$ 交于 $P ， Q$ 两点，且点 $A (- 1 ， 1)$ 为 $P Q$ 中点，求直线 $l$ 的方程．

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15. 已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．

(1)、求C的方程；

(2)、若过点F的直线与C交于不同的两点A ， B ，且 $| A B | = 36$ ，求直线AB的方程．

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点 $F_{2}$ 距离的最大值为 $2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知过点 $F_{2}$ 的直线l交椭圆C于A ， B两点，当 $△ F_{1} A B$ 的面积最大时，求此时直线l的方程．

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17. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是 $E$ ，在圆内异于圆心处取一点，标记为 $F$ ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 $F$ ；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点 $F$ 到圆心 $E$ 的距离为4，按上述方法折纸.以点 $F ， E$ 所在的直线为 $x$ 轴，线段 $E F$ 中点为原点建立平面直角坐标系.

(1)、若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段 $A E$ 交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；

(2)、记（1）问所得图形为曲线 $C$ ，若过点 $Q (1 ， 0)$ 且不与 $y$ 轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，在 $x$ 轴的正半轴上是否存在定点 $T (t ， 0)$ ，使得直线 $T M ， T N$ 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

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18. 已知椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的长轴长是短轴长的 $\sqrt{2}$ 倍.

(1)、求 $M$ 的方程；

(2)、若倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点坐标为 $(m ， \frac{1}{2})$ ，求 $m$ .

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