备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：平面解析几何

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，圆 $M ： x^{2} + (y - 2 p)^{2} = 1$ ， F为抛物线E的焦点，过F作圆M的切线，切线长为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、已知A ， B ， C是抛物线E上的三点，A不与坐标原点重合，直线 $A B$ ， $A C$ 与圆M相交所得的弦长均为3，直线 $B C$ 与直线 $A F$ 垂直，求A的坐标．

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2. 已知G是圆T： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 12$ 上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设P是曲线C上任一点，延长OP至Q，使 $\vec{O Q} = 3 \vec{O P}$ ，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线 $l$ 交曲线E于A，B两点，求 $△ A B Q$ 面积的最大值。

(3)、M，N是曲线C上两个动点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为 $k_{1} ， . k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - \frac{2}{3}$ ，则 $△ M O N$ 的面积为定值，求出此定值（直接写出结论，不要求写证明过程）

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3. 已知直线 $l$ 过点 $M (3 ， 2)$ .

(1)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $A$ ，与 $y$ 轴正半轴的交点为 $B$ ，求当 $△ A O B$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值，直线 $l$ 的方程..

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4. 已知点 $E (- 4 ， 0)$ ， $F (- 1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P E |}{| P F |} = 2$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过曲线 $C$ 与 $x$ 轴的负半轴的交点 $D$ 作两条直线分别交曲线 $C$ 于点 $A ， B$ （异于 $D$ ），且直线 $A D$ ， $B D$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $A B$ 过定点.

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5. 已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ 、 $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，点 $F_{1}$ 到直线 $x = - \frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过点 $F_{2}$ 且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A、B两点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求线段 $A B$ 的长.

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6. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 与双曲线 $y^{2} - x^{2} = 2$ 有共同的焦点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = - m x + 4$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，过 $A ， B$ 两点分别作抛物线 $C$ 的切线，两条切线相交于点 $P$ ，求 $△ A B P$ 面积的最小值.

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点Р到点 $F (2 ， 0)$ 的距离与到直线 $l ： x = \frac{5}{2}$ 的距离之比为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，设动点P的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过 $F$ 作两条垂直直线，分别交曲线C于 $A ， B$ 和 $C ， D$ ，且 $M ， N$ 分别为线段 $A B ， C D$ 的中点，证明直线 $M N$ 过定点，并求出定点的坐标.

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知两点 $S (4 ， 0) ， T (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P S | = 2 | P T |$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $C$ .如图，动直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $A ， B$ （ $A ， B$ 均在 $x$ 轴上方），且 $∠ A T O + ∠ B T O = 18 0^{∘}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、当 $A$ 为曲线 $C$ 与 $y$ 轴正半轴的交点时，求直线 $l$ 的方程；

(3)、是否存在一个定点，使得直线 $l$ 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

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9. 已知点 $A (1 ， 2)$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 y + 2 = 0$ .

(1)、若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；

(2)、当 $m = - 2$ 时，过直线 $2 x - y + 3 = 0$ 上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.

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10. 在平面内，已知动点M到两个定点 $A (- 5 ， 2)$ ， $B (- 2 ， 2)$ 的距离的比值为2.

(1)、求动点M的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状；

(2)、直线 $2 x - y + 2 = 0$ 与轨迹C交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程.

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11. 已知圆 $C_{1}$ ： ${(x - \sqrt{7})}^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x + \sqrt{7})}^{2} + y^{2} = 4$ ，动圆C与这两个圆中的一个内切，另一个外切.

(1)、求动圆圆心C的轨迹方程.

(2)、若动圆圆心C的轨迹为曲线M ， $D (2 ， 0)$ ，斜率不为0的直线 $l$ 与曲线M交于不同于D的A ， B两点， $D E ⊥ A B$ ，垂足为点E ，若以 $A B$ 为直径的圆经过点D ，试问是否存在定点F ，使 $| E F |$ 为定值?若存在，求出该定值及F的坐标；若不存在，请说明理由.

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12.

(1)、在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程；

(2)、在平面直角坐标系中，已知点F(0，2)，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C. 求C的方程

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13. 动点P与定点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离和它到直线 $l ： x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记点P的轨迹为E.

(1)、求E的方程；

(2)、已知 $M (0 ， 1)$ ，过点 $N (- 2 ， 1)$ 的直线与曲线E交于不同的两点A ， B ，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线 $M A$ ， $M B$ 分别与x轴交于C ， D两点，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值.

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线为 $y = x$ ，且双曲线 $C$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、记 $O$ 为坐标原点，过点 $Q (0 ， 2)$ 且斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于不同的两点 $M ､ N$ ，求 $△ O M N$ 的面积.

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15. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 和圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，点 $P$ 是圆 $O$ 上的动点，过点 $P$ 作椭圆的切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，切点为A ， B.

(1)、若点 $P$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，证明：直线 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ；

(2)、求O到直线 $A B$ 的距离的范围.

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条浙近线方程为 $y = x$ ，且点 $P (\sqrt{6} ， \sqrt{2})$ 在双曲线上.

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、设双曲线左右顶点分别为 $A ， B$ ，在直线 $x = 1$ 上取一点 $P (1 ， t) (t \neq 0)$ ，直线 $A P$ 交双曲线右支于点 $C$ ，直线 $B P$ 交双曲线左支于点 $D$ ，直线 $A D$ 和直线 $B C$ 的交点为 $Q$ ，求证：点 $Q$ 在定直线上.

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17. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，过点 $E (1，0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 左右两支分别交于 $M$ ， $N$ 两个不同的点 $($ 异于顶点 $)$ ．

(1)、若点 $P$ 为线段 $M N$ 的中点，求直线 $O P$ 与直线 $M N$ 斜率之积 $(O$ 为坐标原点 $) ；$

(2)、若 $A$ ， $B$ 为双曲线的左右顶点，且 $| A B | = 4$ ，试判断直线 $A N$ 与直线 $B M$ 的交点 $G$ 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由．

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18. 已知圆 $M ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $N (- 2 ， 0)$ ， P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与直线PM交于点Q ，点Q的轨迹为曲线C ．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、 $A_{1} (- 1.0) ， A_{2} (1.0)$ ，点E、F（不在曲线C上）是直线 $x = 2$ 上关于x轴对称的两点，直线 $A_{1} E$ 、 $A_{2} F$ 与曲线C分别交于点A、B（不与 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 重合），证明：直线AB过定点．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} ， C$ 上有三点 $Q ､ R ､ S$ ，直线 $Q R ､ Q S$ 分别过 $F_{1} ， F_{2} ， △ Q R F_{2}$ 的周长为8．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、①若 $Q (0 ， b)$ ，求 $△ Q R S$ 的面积；
②证明：当 $△ Q R S$ 面积最大时， $△ Q R S$ 必定经过 $C$ 的某个顶点．

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