备考2024年高考数学提升专题特训：空间向量与立体几何

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1.
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别在AB，PC上，且PN=2NC，AM=2MB，PA=AD=1，如图建立空间直角坐际系，求 $\vec{M N}$ 的坐标．

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2. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为 $60 °$ ．

(1)、求 $\vec{A C_{1}}$ 的长；

(2)、求 $\vec{B D_{1}}$ 与 $\vec{A C}$ 所成角的余弦值．

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3. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M ， N分别是 $A_{1} B ， B_{1} C_{1}$ 上点，且 $B M = 2 A_{1} M ， C_{1} N = 2 B_{1} N$ ．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90 ° ， ∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60 ° ， A B = A C = A A_{1} = 1$ ，求MN的长．

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4. 如图在四面体 $A B C D$ 中， $A D = B D = 1$ ， $D C = 2$ ， $D C ⊥ D B ， D C ⊥ D A$ $∠ B D A = 6 0^{∘}$ ， $E$ 为线段 $A C$ 中点，

(1)、用基底 ${\vec{D A} ， \vec{D B} ， \vec{D C}}$ 表示向量 $\vec{B E}$ ，并求线段 $B E$ 的长度；

(2)、求异面直线 $D C$ 与 $B E$ 所成角的余弦值.

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5. 如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $1$ 的正方形， $A A_{1} = 2 ， ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 12 0^{∘}$

(1)、求 $| \vec{A C_{1}} |$ ；

(2)、求 $\vec{A A_{1}} \cdot \vec{B D}$ ．

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6. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A A_{1} = A B = 2 A D = 2 C D = 4$ ， E ， F ， G分别为棱 $D D_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求 $\vec{C G} \cdot \vec{E F}$ 的值；

(2)、证明：C ， E ， F ， G四点共面．

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7. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ， $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点， $\vec{B E} = 2 \vec{E A}$ ．

(1)、设 $\vec{P A} = \vec{a}$ ， $\vec{P B} = \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{D E}$ ；

(2)、若 $| \vec{P A} | = | \vec{P B} | = | \vec{B C} | = 1$ 求 $\vec{A C} \cdot \vec{D E}$ ．

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8. 如图，在三棱锥 $P - A B Q$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B Q$ ， $B A = B P = B Q = 2$ ， $D$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A Q$ ， $B Q$ ， $A P$ ， $B P$ 的中点， $A B ⊥ B Q$ ， $P D$ 与 $E Q$ 交于点 $G$ ， $P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ .

(1)、求证： $A B ∥ G H$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = \frac{1}{2} A B$ ，点 $E$ 是棱 $A B$ 上一点，且 $\frac{A E}{E B} = λ$ .

(1)、证明： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、若二面角的 $D_{1} - E C - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，求 $λ$ 的值.

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10. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $| A C | = | B C | = | C C_{1} | = 2$ ．

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A B_{1} C_{1}$ 的距离．

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11. 已知空间三点 $A (- 2 ， 0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $C (- 3 ， 0 ， 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、求 $c o s 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ ；

(2)、 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值．

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12. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是矩形， $C A ⊥ C B$ ， $A B = A A_{1} = 2 A C = 2$ ，且已知二面角 $A_{1} - A C - B$ 是钝角.

(1)、求 $A_{1} B$ 的长度；

(2)、求二面角 $A - B_{1} C_{1} - A_{1}$ 的大小.

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13. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， - 1)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，且 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 3$ ．

(1)、求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、求向量 $\vec{a} - \vec{c}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的模．

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $M (2 ， \sqrt{2}) ， N (\sqrt{6} ， 1)$ 两点，O为坐标原点．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若直线 $y = k x + 4 (k > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{8}{3}$ 相切，且与椭圆交于A，B两点，证明： $O A ⊥ O B$ ．

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15. 如图所示的多面体中，底面ABCD为矩形， $B E ⊥$ 平面ABCD ， $C C_{1} ⊥$ 平面ABCD ， $D F ⊥$ 平面ABCD ， $A F / / E C_{1}$ ，且AB=4，BC=2， $C C_{1} = 3$ ， BE=1．

(1)、求BF的长；

(2)、求直线 $C C_{1}$ 与平面 $A E C_{1} F$ 成的角的正弦值．

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16. 已知点 $A (- 2 ， 0 ， 2) ､ B (- 1 ， 1 ， 2) ､ C (- 3 ， 0 ， 4) ， \vec{a} = \vec{A B} ， \vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、若 $| \vec{c} | = 6$ ，且 $\vec{c} = λ \vec{C B}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、求以 $A B ， A C$ 为邻边的平行四边形的面积.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $P A = P D = P B$ ， $B C = D C = \frac{1}{2} A D = 2$ ， E为 $A D$ 的中点，且 $P E = 4$ ．

(1)、求证： $P E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、记 $P E$ 的中点为N，若M在线段 $B C$ 上，且直线 $M N$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ ，求线段 $B M$ 的长．

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18. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B$ $/ /$ $C D ， D A = D C = 2$ ， $A B = C_{1} D_{1} = 1 ， ∠ B A D = 60 ° ， D_{1} D ⊥ A D ， A B ⊥ B D_{1}$ .

(1)、证明： $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{21}{8}$ ，求二面角 $B - C C_{1} - D$ 的余弦值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $P A = B C = 3$ ， $A B = A D = 2$ ， $P B = \sqrt{13}$ ， $E$ 为 $P D$ 中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $P C = 3 F C$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $F A E$ 与平面 $A E D$ 夹角的余弦值；

(3)、线段 $A C$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $D Q / /$ 平面 $F A E$ ，说明理由？

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A D = 4$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求平面 $P C D$ 与平面 $B C D$ 夹角的正弦值．

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21. 在四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，BC $∥$ AD ， ∠ADC=90°， $B C = C D$ $= \frac{1}{2} A D = 1$ ， E为线段AD的中点. $P E ⊥$ 底面ABCD ，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.

(1)、求证：BE $∥$ FG；

(2)、若PC与AB所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，则面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧棱 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ， $O$ 为 $A D$ 中点.

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求异面直线 $P B$ 与 $C D$ 所成角的大小.

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23. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是等腰梯形， $A D / / B C ， B C = 2 A B = 2 A D = 2$ ， $P C = \sqrt{3} ， P C ⊥$ 底面 $A B C D ， M$ 为棱 $A P$ 上的一点．

(1)、证明： $A B ⊥ C M$ ；

(2)、若二面角 $A - D C - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ ，求 $\frac{P M}{P A}$ 的值．

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24. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， E为棱AD的中点， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $D B_{1} ⊥$ 平面 $B A_{1} C_{1}$ ；

(2)、求平面 $B A_{1} C_{1}$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成的角．

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25. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s θ + 4 s i n θ$ ．

(1)、求 $l$ 的普通方程和 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，点 $P (0 ， - 1)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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26. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $A C = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 6 0^{∘} ， A B = B C ， O$ 是 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $O A_{1} ⊥ A B$ ；

(2)、若二面角 $A - O B_{1} - C_{1}$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{10}}{4}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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