备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：空间向量与立体几何

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA ， PB ， PC ， PD ，点E ， F ， G ， H分别为 $△ P A B$ ， $△ P B C$ ， $△ P C D$ ， $△ P D A$ 的重心．求证：E ， F ， G ， H四点共面．

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2. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = A B = \frac{1}{2} C D = 1$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B / / C D$ ，点M为棱PA的中点．

(1)、设 $\vec{D A} = \vec{a}$ ， $\vec{D C} = \vec{b}$ ， $\vec{D P} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{C B}$ ， $\vec{C M}$ ；

(2)、若 $P D ⊥$ 底面ABCD，且 $P D = 2$ ，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值．

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3. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长都为2，且 $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $P$ 为 $A B$ 的中点，点 $Q$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、点 $B_{1}$ 到直线 $P Q$ 的距离；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $P Q C$ 的距离．

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4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，三棱锥B-PAD的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ .

(1)、求点P到平面ABCD的距离；

(2)、若PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD，点N在线段AP上，AN=2NP，求平面NCD与平面ABCD夹角的余弦值.

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5. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D ， E分别是棱AB ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A C = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 $D E$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成的角的正弦值．
条件①： $B C ⊥ A C_{1}$ ；条件②： $D E ⊥ B_{1} C_{1}$ ；条件③： $D E$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离为1．

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6. 如图，在三棱锥 P-ABC中，平面 PAB⊥平面ABC，AB=4，BC=2，AC=PA=PB=2 $\sqrt{5}$ ， D，E分别为PC，PA的中点.

(1)、证明：平面 BCE⊥平面 PAB.

(2)、求平面 PBC与平面BDE 的夹角的余弦值.

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7. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ D A B = 9 0^{∘}$ ， $c o s < \vec{A A_{1}} ， \vec{A B} > = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $c o s < \vec{A A_{1}} ， \vec{A D} > = \frac{1}{2}$ ，点 $M$ 为 $B D$ 中点.

(1)、证明： $B_{1} M / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ；

(2)、求二面角 $B - A A_{1} - D$ 的正弦值.

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8. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = 6 0^{∘} ， D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F$ $∥$ $D E$ ，且 $A B = D E = 2 ， C F = 1 ， G$ 为棱 $B C$ 的中点， $H$ 为棱 $D E$ 上的动点.

(1)、求二面角 $A - B E - F$ 的正弦值；

(2)、是否存在点 $H$ 使得 $G H$ $∥$ 平面 $B E F$ ？若存在，求 $\frac{E H}{E D}$ 的值；否则，请说明理由.

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 中 $A B = 2 A D = 4 ， E$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $△ A_{1} D E$ ，使 $D A_{1} ⊥ E C$ ，若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，

(1)、求证： $B M ∥$ 平面 $A_{1} D E$

(2)、求证：平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C D E$

(3)、求二面角 $C - A_{1} B - E$ 夹角的正弦值

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10. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ B A D = 6 0^{∘} ， P A = A B = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 为线段 $P B$ 上的一点．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、当 $A M$ 与平面 $P B D$ 所成的角的正弦值最大时，求平面 $M A C$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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11. 在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中，底面棱长为 $2$ ，高为 $2 \sqrt{3}$ ， $P ， Q$ 分别为 $F F_{1}$ ， $C D$ 的中点，连接 $P Q ， A_{1} B ， A_{1} C ， F_{1} D$ .

(1)、求 $P Q ， A_{1} B$ 所成角 $α$ 的余弦值；

(2)、过点 $B$ 作直线 $l / / P Q$ ，设点 $R$ 是直线 $l$ 上一点，记平面 $A_{1} C D F_{1}$ 与平面 $E F R$ 所成角为 $β$ ，求 $| c o s β |$ 的取值范围.

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12. 底面ABCD和侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 均为矩形， $A B = 2$ ， $B C = 6$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A_{1} C = 4$ .

(1)、求证： $A_{1} D ⊥ D C$ ；

(2)、求 $A C_{1}$ 与平面 $B A A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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13. 如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $A A_{1} = \sqrt{13}$ .

(1)、证明： $A A_{1} ⊥ B C$ .

(2)、过 $B_{1} C_{1}$ 的平面α交 $A B ， A C$ 分别于 $E ， F$ ，若 $A A_{1} / /$ 平面 $α$ ，求直线 $B B_{1}$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值.

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14. 如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 A A_{1}$ ， D，E分别为 $A A_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且 $C_{1}$ ， D，P，Q均在平面 $α$ 上，若 $△ P B Q$ 与 $△ A B C$ 的面积比为3：8，
（i）证明： $B P = \frac{3}{4} B A$

（ii）求 $α$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B D ⊥ P C ， ∠ A B C = 6 0^{∘}$ ，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P B = \sqrt{2} A B = \sqrt{2} P A ， E$ 是棱 $P D$ 上的动点，且 $\vec{P E} = λ \vec{P D}$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $P A B$ 与平面 $A C E$ 所成锐二面角的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{19}}{19}$ ?若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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16. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， M是线段AD上的一动点，将 $Δ A B M$ 沿着BM折起，使点A到达点A＇的位置，满足点 $A' \notin$ 平面BCDM且点A＇在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．

(1)、当点M与端点D重合时，证明： $A' B ⊥$ 平面ACD＇；

(2)、求三棱锥E-A＇BM的体积的最大值；

(3)、设直线CD与平面A＇BM所成的角为 $α$ ，二面角A＇-BM-C的平面角为 $β$ ，求 $2 s i n α \cdot c o s β$ 的最大值．

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17. 已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ $A D = 5$ ， $∠ D A B = ∠ A B C = ∠ C B P = 9 0^{∘}$ ， $P A ⊥ C D$ ， E为CD的中点.

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面PAE；

(2)、若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角 $P - C D - A$ 的正弦值.

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18. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD为直角梯形， $∠ D A B = ∠ A D C = 90 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $C D = 2$ ，直线 $B D_{1}$ 与直线CD所成的角取得最大值．点M为 $C D_{1}$ 的中点，且 $C D_{1} = 2 B M$ ．

(1)、证明：平面 $B D M ⊥$ 平面 $B D_{1} M$ ；

(2)、若钝二面角 $B - D M - C$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{15}}{15}$ ，当 $B D_{1} > B D$ 时，求三棱锥 $D - B D_{1} M$ 的体积．

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19. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4$ ， $A D ⊥ D B$ ，如图甲所示，作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 翻折，使点 $A$ 与点 $P$ 重合，如图乙所示．

(1)、设平面 $P E B$ 与平面 $P D C$ 的交线为 $l$ ，判断 $l$ 与 $C D$ 的位置关系，并证明；

(2)、当四棱锥 $P - B C D E$ 的体积最大时，求二面角 $P - B C - D$ 的正弦值；

(3)、在(2)的条件下， $G$ 、 $H$ 分别为棱 $D E$ ， $C D$ 的点，求空间四边形 $P G H B$ 周长的最小值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = 2$ ， $B C = 4$ ， $P A = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、已知 $M$ 为线段 $P D$ 上一点，若 $B M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ ，试确定 $M$ 点位置；并求此时二面角 $M - A C - D$ 的大小．

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