备考2024年高考数学提升专题特训：立体几何初步

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，M，N分别是B₁C₁ ， A₁D₁ ， A₁B₁ ， BD，B₁C的中点，求证：

(1)、MN∥平面CDD₁C₁ ．

(2)、平面EBD∥平面FGA．

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2. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是24，E为 $C C_{1}$ 的中点，平面 $E B D$ 将长方体分成三棱锥 $E - B C D$ 和多面体 $E D B A A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 两部分．

(1)、若 $A B = 2 ， B C = 3$ ，求多面体 $E D B A A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积；

(2)、求三棱锥 $E - B C D$ 的体积．

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3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，AB＝2， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， △PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD，点Q是线段PC的中点．

(1)、求三棱锥Q－PAD的体积；

(2)、求平面PBC与平面BCD夹角的余弦值．

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4. 在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = A A_{1} = 3$ ， $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 中点， $E$ 在 $B B_{1}$ 上， $\vec{E B} = 2 \vec{B_{1} E}$ .

(1)、请作出 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C D E$ 的交点 $M$ ，并写出 $A_{1} M$ 与 $M B_{1}$ 的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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5. 圆柱的轴截面ABCD是正方形， $E$ 是底面圆周上一点，DC与AE成 $60 °$ 角， $A B = 2$ ．

(1)、求直线AC与平面BCE所成角的正弦值；

(2)、求点B到平面AEC的距离．

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6.
如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中被截去一部分，
（1）其中EF∥A₁D₁ ．剩下的几何体是什么？截取的几何体是什么？
（2）若FH∥EG，但FH＜EG，截取的几何体是什么？

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7. 已知四棱锥 $P - A B C D$ (图1)的三视图如图2所示， $Δ P B C$ 为正三角形， $P A$ 垂直底面 $A B C D$ ，俯视图是直角梯形．
图1 图2

(1)、求正视图的面积；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(3)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P A B$ .

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8. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $A C$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点．求证：

(1)、 $B$ ， $C$ ， $H$ ， $G$ 四点共面；

(2)、 $平面 E F A_{1} ∥ 平面 B C H G$ ．

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9.
如图，是一个几何体的三视图，若它的体积是 $\sqrt{3}$ ，求a的值，并求此几何体的表面积．

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10. 如图，在正六棱锥 $S - A B C D E F$ 中， $O$ 为底面中心， $S O = 8$ ， $O B = 4$ ．

(1)、若 $M$ ， $N$ 分别是棱 $S B$ ， $S C$ 的中点，证明： $M N / /$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若该正六棱锥的顶点都在球 $Q$ 的表面上，求球 $Q$ 的表面积和体积．

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11. 台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切 $($ 内壁厚度忽略不计 $)$ ，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋 $.$ 已知该模具底部边长为 $3 c m$ ．

⑴求内壁的面积；

⑵求制作该模具所需材料的体积；

⑶求模具顶点到内壁的最短距离．

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12. 如图，已知平面四边形 $A B C D$ 存在外接圆，且 $A B = 5$ ， $B C = 2$ ， $c o s ∠ A D C = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $△ A D C$ 的周长的最大值．

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13. 如图，在多面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ， F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ， d与a ， b ，且a＞c ， b＞d ，两底面间的距离为h ．

(1)、求侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的大小；

(2)、证明： $E F ∥ A B C D$ ；

(3)、在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 $V_{估} = S_{中截面} \cdot h$ 来计算，已知它的体积公式是 $V = \frac{h}{6} (S_{上底面} + 4 S_{中截面} + S_{下底面})$ ，试判断 $V_{估}$ 与V的大小关系，并加以证明．
注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．

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14. 如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．

(1)、以r为变量，表示圆柱的表面积 $S_{柱}$ 和体积 $V_{柱}$ ；

(2)、当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

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15. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F分别是 $B_{1} C_{1}$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、证明：E ， F ， D ， B四点共面．

(2)、证明：BE ， DF ， $C C_{1}$ 三线共点．

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16. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = 60 ° ， C D = C C_{1} = 2 ， \vec{C D} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b} ， \vec{C C_{1}} = \vec{c} .$

(1)、用空间的一个基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 表示 $\vec{A C_{1}}$ ，并求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求异面直线 $C A_{1}$ 与 $D C_{1}$ 所成角的余弦值．

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17. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，侧面 $P C D$ 是等边三角形， $∠ A B C = ∠ B C D = 90 °$ ， $A B = 2 C D = 2 B C$ ， $M$ 在棱 $A B$ 上，且满足 $A B = 4 B M$ .

(1)、求证： $P M ⊥ C D$ ；

(2)、求二面角 $P - C M - A$ 的余弦值.

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18. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A A_{1}$ 的中点， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ .

(1)、求证： $C_{1} M ⊥$ 平面 $B D M$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - B D - M$ 的余弦值.

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19. 如图，已知正方体 ${A B C D - A}_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， M$ 为 ${A A}_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 ${M C D}_{1}$ ；

(2)、求平面 ${M C D}_{1}$ 与平面 $C_{1} {C D}_{1}$ 夹角的余弦值。

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20. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B C$ 的中点， $F$ 为棱 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $D_{1} F ∥$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值.

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21. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧面 $P A D$ 为正三角形，且 $A D = 2 A B = 4 ， M 、 N$ 分别为 $P D 、 B C$ 的中点， $H$ 在线段 $P C$ 上，且 $P C = 3 P H$ ．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $A M ⊥ P C$ 时，求平面 $A M N$ 与平面 $H M N$ 的夹角的余弦值．

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22. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D ， M$ 是 $A D$ 中点.底面 $A B C D$ 为直角梯形，且 $A D$ $∥$ $B C ， A B = B C = \frac{1}{2} A D = A A_{1} = A_{1} D_{1} ， ∠ A B C = 9 0^{∘}$ .

(1)、证明：直线 $D D_{1} ⊥$ 平面 $A B D_{1}$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - B_{1} C - M$ 的正弦值.

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23. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD ，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC ， AB⊥AC ， AB＝AC＝ $\sqrt{2}$ ，点E在AD上，且AE＝2ED.

(1)、已知点F在BC上，且CF＝2FB ，求证：平面PEF⊥平面PAC；

(2)、当二面角A－PB－E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？

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