备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：立体几何初步

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 如图，在四面体P-ABC中，△ABC是等腰三角形AB⊥BC ， $∠ P B A = ∠ P B C$ .

(1)、证明：PB⊥AC；

(2)、若AB=2， $P B = 2 \sqrt{5}$ ， PA⊥AB.
（ⅰ）求点A到平面PBC的距离；

（ⅱ）求二面角 $A - P C - B$ 的正弦值.

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2. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰直角三角形，且 $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A_{1} A = 2$ ．

(1)、求该直三棱柱的表面积；

(2)、若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值，并求出此时大棱柱的外接球的直径

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3. 在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形ABCD并求出其面积.

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4. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是一个棱长为2的空心蔬菜大棚，由8个钢结构（地面没有）组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖，已知 $E$ 为柱 $A A_{1}$ 上一点（不在点 $A$ 、 $A_{1}$ 处）， $E A = \frac{2}{λ}$ （ $λ > 1$ ），菜农需要在地面正方形 $A B C D$ 内画出一条曲线 $Γ$ 将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点 $P$ 为地面正方形 $A B C D$ 内的曲线 $Γ$ 上任意一点，设 $α$ 、 $β$ 分别为在P点处观测E和 $D_{1}$ 的仰角.

(1)、若 $α = β$ ，请说明曲线 $Γ$ 是何种曲线，为什么？

(2)、若E为柱 $A A_{1}$ 的中点，且 $α < β$ 时，请求出点P所在区域的面积.

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5. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} ， D ， E$ 分别为 $A A_{1} ， A C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $B D E$ .

(2)、若侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的中心为 $O ， M$ 为侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 内的一个动点， $O M$ $/ /$ 平面 $B D E$ ，且 $M$ 的轨迹长度为 $3 \sqrt{2}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的表面积.

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6. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $P D$ 的中点．若 $P A = A D = 3$ ， $C D = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $A F / /$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $P C E$ 的距离；

(3)、求直线 $F C$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值．

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7. 如图，在直三棱柱ABC— $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面△ABC是以角B为直角的等腰直角三角形，且腰长为2，D为BC的中点，三棱柱体积 $V = 4 \sqrt{2}$

(1)、求三棱柱的外接球的表面积和体积；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积.

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8. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.

(1)、若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；

(2)、求三棱锥P－ABC体积的最大值；

(3)、若 $B C = \sqrt{2}$ ，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．

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9. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a cos B + \sqrt{3} a sin B = c + b$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小 $；$

(2)、若 $b = 3$ ，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，且 $A G = \sqrt{21}$ ，求 $△ A B C$ 内切圆的半径．

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10. 如图，在多面体ABCDE中，面BCDE为平行四边形， $A E = B E = 13$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， $A B ⊥ B C$ ， F为AC中点．

(1)、求证： $A B ⊥ E F$ ；

(2)、二面角 $E - A B - C$ 的正切值为4，求多面体ABCDE的体积．

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} A$ 的中点，求证：

(1)、 $E$ ， $F$ ， $D_{1}$ ， $C$ 四点共面；

(2)、 $C E$ ， $D_{1} F$ ， $D A$ 三线共点．

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， B C = 2$ ， M为 $C C_{1}$ 中点， $B M ⊥ A_{1} C$ ．

(1)、求异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $D M$ 所成角的余弦值；

(2)、 $P ， Q$ 分别为直线 $A B_{1} ， B M$ 上的点，求 $| P Q |$ 的最小值．

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13. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的内切圆 $O_{1}$ 上的动点．

(1)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点N ，使得 $A M ⊥ N M$ 恒成立，若存在，求出点N的位置，若不存在，说明理由；

(2)、当点M落在线段 $B_{1} D_{1} ($ 靠近 $D_{1}$ 点 $)$ 上时，求二面角 $A - M B - C$ 的余弦值．

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14. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $M$ 在线段 $P B$ 上， $P D ∥$ 平面 $M A C$ ， $P A = P D = \sqrt{6}$ ， $A B = 4$ ．

(1)、求证： $M$ 为 $P B$ 的中点；

(2)、求二面角 $B - P D - A$ 的大小；

(3)、求直线 $M C$ 与平面 $B D P$ 所成角的正弦值．

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15. 两个边长为2的正方形 $A B C D$ 和 $A D E F$ 各与对方所在平面垂直， $M$ 、 $N$ 分别是对角线 $A E$ 、 $B D$ 上的点，且 $E M = D N$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $D C E$ ；

(2)、设 $E M = x$ ， $M N = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(3)、求 $M$ 、 $N$ 两点间的最短距离.

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16. 如图，直线 $A Q ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $A Q ⊥$ 平行四边形，四棱锥的顶点 $P$ 在平面 $α$ 上， $A B = \sqrt{7}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $A D ⊥ D B$ ， $A C \cap B D = O ， O P / / A Q ， A Q = 2$ ， $M ， N$ 分别是 $A Q$ 与 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $Q B C$ ；

(2)、求二面角 $M - C B - Q$ 的余弦值.

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17. 如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 $\frac{1}{4}$ 个圆柱拼接而成，点 $G$ 为弧 $C D$ 的中点，且 $C$ ， $E$ ， $D$ ， $G$ 四点共面．

(1)、证明：平面 $B D F ⊥$ 平面 $B C G$ ；

(2)、若平面 $B D F$ 与平面 $A B G$ 所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，且线段 $A B$ 长度为 $2$ ，求点 $G$ 到直线 $D F$ 的距离．

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18. 如图甲是由梯形ABCD和正三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD ， AB⊥AD ， AD＝2BC＝2AB＝2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角P﹣CD﹣B为直二面角．

(1)、证明：AC⊥PD；

(2)、若平面PCD与平面PAB的交线为l ，求l与平面PAD所成角的正弦值．

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