备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：复数

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 设复数z的实部为正数，满足 $| z | = \sqrt{10}$ ，且复数 $(1 + 2 i) z$ 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.

(1)、求复数z；

(2)、若有 $z_{1} = x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1} i$ ， $z_{2} = (x^{2} + a) (\bar{z} - 3)$ ，对任意 $x \in R$ 均有 $| z_{1} | > | z_{2} |$ 成立，试求实数a的取值范围.

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2. 已知方程 $x^{2} + x + p = 0$ ， $p \in R$ ．

(1)、设 $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位，且 $a + i$ 是方程 $x^{2} + x + p = 0$ 的一个根，求 $p$ ；

(2)、设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + x + p = 0$ 的两个根，若 $| x_{1} - x_{2} | = 3$ ，求 $p$ 的值．

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3. 已知复数 $z_{0} = 1 - m i$ $(m > 0)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，对于任意复数 $z$ ，有 $z_{1} = \bar{z_{0}} \cdot \bar{z}$ ， $| z_{1} | = \sqrt{5} | z |$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 满足 $| z | = | z + 1 - i |$ ，求 $| z_{1} |$ 的取值范围；

(3)、我们把上述关系式看作复平面上表示复数 $z$ 的点 $P$ 和表示复数 $z_{1}$ 的点 $Q$ 之间的一个变换，问是否存在一条直线 $l$ ，若点 $P$ 在直线 $l$ 上，则点 $Q$ 仍然在直线 $l$ 上？如果存在，求出直线 $l$ 的方程，否则，说明理由．

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4. 复数 $z_{1}$ 所对应的点在点 $(1, 1)$ 及 $(1, - 1)$ 为端点的线段上运动，复数 $z_{2}$ 满足 $| z_{2} | = 1$ ，求：

(1)、复数 $z_{1} • z_{2}$ 模的取值范围；

(2)、复数 $z_{1}^{2}$ 对应的点的轨迹方程.

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5. 已知复数 $z$ 满足: $| z | = 1 + 3 i - z,$ 求 $\frac{{(1 + i)}^{2} {(3 + 4 i)}^{2}}{2 z}$ 的值.

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6. 设f(z)＝z－2i，z₁＝3＋4i，z₂＝－2－i.
求：

(1)、f(z₁－z₂)的值；

(2)、f(z₁＋z₂)的值．

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7. 设复平面上点Z₁ ， Z₂ ， …，Z_n ， …分别对应复数z₁ ， z₂ ， …，z_n ， …；

(1)、设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zⁿ=rⁿ（cosnα+isinnα），n∈Z⁺

(2)、已知 $z_{1} = {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{20}$ ，且 $\frac{z_{n + 1}}{z_{n}} = \frac{1}{2}$ （cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{z_n}的通项公式；

(3)、在（2）的条件下，求 $L = | \vec{Z_{1} Z_{2}} | + | \vec{Z_{2} Z_{3}} | + \dots + | \vec{Z_{n} Z_{n + 1}}$ |+…．

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8. 已知z=1+i，a，b为实数．

(1)、若ω=z²+3 $\bar{z}$ ﹣4，求|ω|；

(2)、若 $\frac{z^{2} + a z + b}{z^{2} - z + 1} - 1 - i$ ，求a，b的值．

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9. 设复数z满足 $4 z + 2 \bar{z} = 3 \sqrt{3} + i$ ， $ω = \sin θ - i \cos θ ， (θ \in R)$ ．求z的值和|z－ω|的取值范围．

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10. 在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ， $Z_{3}$ ， $O$ （其中 $O$ 为原点）．已知点 $Z_{2}$ 对应的复数 $z_{2} = 1 + \sqrt{3} i$ ，求 $Z_{1}$ 和 $Z_{3}$ 分别对应的复数 $z_{1}$ ， $z_{3}$ ．

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11. 已知复数z=lg（m²﹣2m﹣2）+（m²+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．

(1)、z是纯虚数；

(2)、z对应的点在复平面的第二象限．

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12. 把复数 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 对应的向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 分别按逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 和 $\frac{5 π}{3}$ 后，与向量 $\vec{O M}$ 重合且模相等，已知 $z_{2} = - 1 - \sqrt{3} i$ ，求复数 $z_{1}$ 的代数式和它的辐角主值．

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13. 设复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ， i为虚数单位，且满足 $| z | + z = \frac{- 4 + 8 i}{i}$ ．

(1)、求复数z；

(2)、复数z是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数p，q的值．

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14. 已知复数 $z = (m^{2} - m - 20) + (m^{2} + 2 m - 35) i$ ， $m \in R$ ．

(1)、若复数 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、当 $m = 3$ 时，求 $i z + \bar{z}$ ．

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15. 设复数 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = c + d i$ ，其中 $a 、 b 、 c 、 d \in R$ .现在复数系中定义一个新运算 $\otimes$ ，规定： $z_{1} \otimes z_{2} = (a c + b d) + (a d + b c) i$ .

(1)、已知 $| (2 - i) \otimes (x + i) | = \sqrt{2}$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、现给出如下有关复数新运算 $\otimes$ 性质的两个命题：
① $\bar{z_{1} \otimes z_{2}} = \bar{z_{1}} \otimes \bar{z_{2}}$ ；

②若 $z_{1} \otimes z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ .

请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.

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16. 已知复数 $z = x + y i$ ， $(x \in R ， y \in R)$ ，其中i为虚数单位，且满足 $| z | = 2$ ，且 $\bar{z} - 1$ 为纯虚数.

(1)、若复数 $z = x + y i$ ， $(x \in R ， y \in R)$ 在复平面内对应点在第一象限，求复数z；

(2)、求 $\frac{\sqrt{3} + 2 i}{z}$ ；

(3)、若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m ， n \in R)$ 的一个根，求实数m ， n的值.

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17. 欧拉公式 $e^{θ i} = c o s θ + i s i n θ$ 将自然对数的底数 $e$ ，虚数单位 $i$ ，三角函数 $s i n θ ， c o s θ$ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数 $z_{0} ， z$ 满足 $z_{0} = 1 + i$ ， $\bar{z_{0}} \cdot z = e^{π i} + a i (a \in R)$ .

(1)、求 $| z_{0} |$ ， $\bar{z_{0}}$ ；

(2)、若复数 $z$ 是纯虚数，求 $a$ 的值.

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18. 已知复数 $z = 2 - a i (a \in R)$ ，且 $(1 - 2 i) z$ 为纯虚数.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $ω = \frac{z}{3 + i}$ ，求复数 $ω$ 及其模 $| ω |$ .

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