备考2024年高考数学提升专题特训：平面向量

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| 3 \vec{a} - 4 \vec{b} |$ ．

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2. 已知平面内的三个向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{c} = (4 ， 1)$ ．

(1)、若 $\vec{a} = λ \vec{b} + μ \vec{c} (λ ， μ \in R)$ ，求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与向量 $2 \vec{b} - \vec{c}$ 共线，求实数 $k$ 的值．

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3. 向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $θ$ ， $| \vec{O A} | = 2$ ， $| \vec{O B} | = 1$ ， $\vec{O P} = t \vec{O A}$ ， $\vec{O Q} = (1 - t) \vec{O B}$ ．

(1)、请用 $θ$ ， t的关系式表示 $| \vec{P Q} |$ ；

(2)、 $| \vec{P Q} |$ 在 $t_{0}$ 时取得最小值．当 $0 < t_{0} < \frac{1}{5}$ 时，求夹角 $θ$ 的取值范围．

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4.

(1)、已知 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(2)、已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， 1)$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 值.

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5. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 是正三角形， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2$ ， D是AB的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - D$ 为 $150 °$ ，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

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6. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，四边形BCDE为梯形， $B C ∥ D E$ ， $B E ⊥ D E$ ，平面 $A E D ⊥$ 平面BCDE， $A E ⊥ B D$ ．

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面BCDE；

(2)、若 $A E = D E = B E = 2 B C = 2$ ，求平面CAB与平面DAB夹角的余弦值．

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ 且 $b c o s C + c s i n B = a ， \frac{a + 2 b}{s i n A + 2 s i n B} = 6 \sqrt{2}$ ，

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $A C$ 边上中线长的取值范围．

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8. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 依次为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 6$ ， $B_{1} (0 ， - b)$ ， $B_{2} (0 ， b)$ .

(1)、若 $a = \sqrt{5}$ ，以 $\vec{d} = (3 ， - 4)$ 为方向向量的直线 $l$ 经过 $B_{1}$ ，求 $F_{2}$ 到 $l$ 的距离.

(2)、在（1）的条件下，双曲线 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $\vec{P B_{1}} \cdot \vec{P B_{2}} = - 2$ ，若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，请说明理由.

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9. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 共线，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 所成角是锐角，求实数 $k$ 的范围．

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10. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (s i n C ， c o s C)$ ， $\vec{n} = (2 s i n A - c o s B ， - s i n B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角C的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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11. 已知平面直角坐标系中， $A (c o s x ， s i n x)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ ， $f (x) = | \vec{O C} |^{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上的单调递增区间．

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12. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} s i n x ， c o s x)$ ， $\vec{b} = (c o s x ， c o s x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 且 $x \in (0 ， π)$ ，求 $x$ ；

(2)、若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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13. 已知空间有不重合的四点 $A (2 ， 3 ， 6) ， B (4 ， 3 ， 2) ， C (0 ， 0 ， 1) ， D (a ， a + b ， b)$ ．

(1)、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ，求点 $D$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{C D}$ 是平面 $A B C$ 的一个法向量，求 $a$ 和 $b$ 的值．

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14. 已知点 $P$ 到 $A (- 2 ， 0)$ 的距离是点 $P$ 到 $B (1 ， 0)$ 的距离的2倍.

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、若点 $P$ 与点 $Q$ 关于点 $B$ 对称，过 $B$ 的直线与点 $Q$ 的轨迹 $Γ$ 交于 $E ， F$ 两点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{B F}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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15. 在锐角 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角A､B､C所对的边，且 $\sqrt{3} a = 2 c s i n A$ .

(1)、求角 $C$ .

(2)、 $c = \sqrt{7} ， a + b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 已知圆 $M$ 经过 $A (1 ， 5) ， B (4 ， 2) ， C (\sqrt{5} + 1 ， 0)$ 三点.

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、已知斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 经过第三象限，且与圆 $M$ 交于点 $E ， F$ ，求 $△ E F M$ 的面积的取值范围.

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17. 在 $∆ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $∆ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，且 $\frac{b}{s i n A + s i n C} = \frac{a - c}{s i n B - s i n C} .$

(1)、求角 $A$ 的大小 $；$

(2)、记 $∆ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，求 $\frac{| \vec{A M} |^{2}}{S}$ 的最小值．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $c = a (c o s B + \sqrt{3} s i n B)$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，且 $a = 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的伴随向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的伴随函数.

(1)、若函数 $g (x) = s i n x + 2 c o s (x + \frac{π}{3})$ ，求函数 $g (x)$ 的伴随向量；

(2)、若函数 $f (x)$ 的伴随向量为 $(1 ， 1)$ ，且函数 $f (x)$ 在 $（ 0 ， x_{1} ）$ 上有且只有一个零点，求 $x_{1}$ 的最大值；

(3)、若函数 $f (x)$ 的伴随向量为 $(\sqrt{3} ， 1)$ ， $h (x) = f (x) + 1$ ，若实数 $m$ ， $n$ ， $p$ 使得 $m h (x) + n h (x - p) = 1$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求 $\frac{c o s p}{m + n}$ 的值．

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20. 已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数.

(1)、记向量 $\vec{O N} = (1 ， \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，若当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 时，求 $s i n x$ 的值；

(2)、已知 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (2 ， 6)$ ， $\vec{O T} = (- \sqrt{3} ， 1)$ 为 $h (x) = m s i n (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

(3)、记向量 $\vec{O N} = (1 ， \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，若当 $x \in [0 ， \frac{11 π}{12}]$ 时不等式 $f (x) + k f (x + \frac{π}{2}) > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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