备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：平面向量

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 的动直线交抛物线于不同两点 $P ， Q$ ，线段 $P Q$ 中点为 $M$ ，射线 $M F$ 与抛物线交于点 $A$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的最小值.

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2. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 $(z_{1} ， z_{2}) (z_{1} ， z_{2} \in C)$ 看作一个向量，记 $\vec{a} = (z_{1} ， z_{2})$ ，则称 $\vec{a}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1} ， z_{2})$ ， $\vec{b} = (z_{3} ， z_{4})$ ， $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 、 $z_{3}$ 、 $z_{4}$ 、 $λ \in C$ ，我们有如下运算法则：
① $\vec{a} \pm \vec{b} = (z_{1} \pm z_{3} ， z_{2} \pm z_{4})$ ；② $λ \vec{a} = (λ z_{1} ， λ z_{2})$ ；

③ $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；④ $| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ .

(1)、设 $\vec{a} = (i ， 1 + i)$ ， $\vec{b} = (2 ， 2 - i)$ ，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(2)、由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
① $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
② $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
③ $(λ \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (λ \vec{b})$ .
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.

(3)、若 $\vec{a} = (2 i ， 1)$ ，集合 $Ω = {\vec{p} | \vec{p} = (x ， y) ， y = 2 x + 1 ， x ， y \in C}$ ， $\vec{b} \in Ω$ .对于任意的 $\vec{c} \in Ω$ ，求出满足条件 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ 的 $\vec{b}$ ，并将此时的 $\vec{b}$ 记为 $\vec{b_{0}}$ ，证明对任意的 $\vec{b} \in Ω$ ，不等式 $| \vec{a} - \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{b_{0}} |$ 恒成立.
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.

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3. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ ， $w = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$ ，复数 $\bar{z w}$ ， $z^{2} w^{3}$ 在复平面内所对应的点分别为 $P$ ， $Q$ ，求证： $△ O P Q$ 是等腰直角三角形（其中 $O$ 为原点）．

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $(0 ， \sqrt{3}) ， F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左､右焦点，且离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过椭圆右焦点 $F_{2}$ 且斜率为k的直线l与椭圆C交于M ， N两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 2$ ，（ $O$ 为原点），求直线 $l$ 的方程；

(3)、过原点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为P ，若 $λ = | O P |^{2} - \frac{12}{| M N |}$ ，求 $λ$ 的值.

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5. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， BP ， AP ， BC的中点分别为D ， E ， O ， $A D = \sqrt{5} D O$ ，点F在AC上， $B F ⊥ A O$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $B C P$ ；

(2)、求平面 $A D O$ 与平面 $A C O$ 夹角的余弦值．

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6. 在 $△ A B C$ 中，设角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $c s i n B + (a + \frac{c^{2}}{a} - \frac{b^{2}}{a}) s i n C = 2 c s i n A$ ，且三角形的外接圆半径为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求C的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $c o s 2 A - 2 s i n^{2} B + 1$ 的值；

(3)、设 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O ，且满足 $s i n 2 B \cdot \vec{C B} + s i n 2 A \cdot \vec{C A} = 2 m \vec{C O} \cdot s i n A s i n B$ ，求m的值．

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的离心率的倒数，椭圆 $C$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上顶点为 $P$ ，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - 2$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当过点 $Q (0 ， 2)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两个不同点 $A ， B$ 时，设 $\vec{A Q} = λ \vec{Q B}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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8. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{13}}{2}) ，$ 且Γ的左焦点为 $F (- 2 \sqrt{3}, 0) ，$ 直线l与Γ交于M，N两点.

(1)、求椭圆Γ的方程；

(2)、若 $\vec{M P} = \frac{1}{2} \vec{P N} ，$ 且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；

(3)、若 $| \vec{O M} + \vec{O N} | = 4 ，$ 其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.

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9. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和点 $M (2 ， 4)$ .

(1)、过点 $M$ 向圆 $O$ 引切线，求切线的方程.

(2)、点 $N$ 是圆 $O$ 上任意一点， $S$ 在线段 $N M$ 的延长线上，且点 $M$ 是线段 $S N$ 的中点，求 $S$ 点运动的轨迹 $E$ 的方程.

(3)、设圆 $O$ 与 $x$ 轴交于 $C ， D$ 两点，线段 $M O$ 上的点 $T$ 上满足 $16 \vec{T C} \cdot \vec{D T} = \vec{C M} \cdot \vec{M D}$ ，若 $T \in$ 直线 $l$ ，且直线 $l$ 与（2）中曲线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，满足 $\vec{T A} = 3 \vec{A B}$ .试探究是否存在这样的直线 $l$ ，若存在，请说明理由并写出直线 $l$ 的斜率，若不存在，请说明理由.

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10. 如图，平面向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 是单位向量，夹角为 $6 0^{∘}$ ，那么，向量 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 构成平面的一个基.若 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则将有序实数对 $⟨ x ， y ⟩$ 称为向量 $\vec{a}$ 的在这个基下的斜坐标，表示为 $\vec{a} = ⟨ x ， y ⟩$ .

(1)、记向量 $\vec{e_{1}} = \vec{O A}$ ， $\vec{e_{2}} = \vec{O B}$ ，求向量 $\vec{A B}$ 在这个基下的斜坐标；

(2)、设 $\vec{a} = ⟨ 1 ， - 1 ⟩$ ， $\vec{b} = ⟨ 2 ， 0 ⟩$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(3)、请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.

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11. 函数 $f (x) = M s i n (ω x + φ) (M > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.已 $A (- \frac{1}{6} ， 0)$ ， $B (\frac{1}{3} ， M)$ ， $C (x_{0} ， - M)$ ， $A B ⊥ A C$ .

(1)、求 $x_{0}$ 和 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{1}{2}]$ 上的值域.

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12. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ， M是椭圆上的一点，当 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ 时， $△ F_{1} M F_{2}$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆E交于A，B两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交直线 $l$ 于点P，交直线 $x = - 2$ 于点Q，求 $\frac{| P Q |}{| A B |}$ 的最小值.

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13. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{a + b - c}{b + c - a} = \frac{1}{9} ， \frac{a + b - c}{c + a - b} = \frac{1}{5}$ .

(1)、若 $∠ A C B$ 的平分线与边 $A B$ 交于点 $D$ ，求 $\frac{A D}{c}$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ，点 $M ， N$ 分别在边 $A C ， B C$ 上， $△ C M N$ 的周长为5，求 $M N$ 的最小值.

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14. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，直线 $l ： k x - y - 4 k = 0$ ，当 $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，直线l与圆O恰好相切．

(1)、求圆O的方程；

(2)、若直线l上存在距离为2的两点M ， N ，在圆O上存在一点P ，使得 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，求实数k的取值范围．

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15. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，点O为 $△ A B C$ 的内心，记 $△ O B C$ ， $△ O A C$ ， $△ O A B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，已知 $S_{1}^{2} + S_{3}^{2} - S_{1} S_{3} = S_{2}^{2}$ ， $A B = 2$ .

(1)、在① $a c o s C + c c o s A = 1$ ；② $4 s i n B s i n A + c o s 2 A = 1$ ；③ $\frac{1 - 2 c o s A}{s i n A} + \frac{1 - 2 c o s B}{s i n B} = 0$ 中选一个作为条件，判断 $△ A B C$ 是否存在，若存在，求出 $△ A B C$ 的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\frac{b + c}{a} = 2 s i n (C + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{a^{2}}$ 的取值范围．

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17. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 120 °$ ，动点 $M ， N$ 满足 $\vec{B M} = λ \vec{B C} ， \vec{D N} = μ \vec{D C}$ ， $λ ， μ \neq 0$ .

(1)、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，求 $| \vec{A M} - \vec{A N} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{A M} • \vec{A N} = - 2$ ，求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的值.

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18. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，点 $P (- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆上，线段 $P F_{2}$ 与 $y$ 轴的交点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{P M} + \overset{⇀}{F_{2} M} = 0$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、圆 $O$ 是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆，一直线 $l ： y = k x + m$ 与之相切，并与椭圆交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，当 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = λ$ 且满足 $\frac{2}{3} \leq λ \leq \frac{3}{4}$ 时，求 $△ O A B$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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