备考2024年高考数学提升专题特训：微积分与极限

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 计算下列各式的值．

(1)、 $\int_{0}^{π} (\sin x - \cos x) d x$ ；

(2)、 $\int_{1}^{3} \sqrt{3 + 2 x - x^{2}} d x$ ．

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2. 求 $\int_{- 2}^{2} (x^{2} \sin x + e^{x}) d x$ 的值

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3. 已知 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x$ ＝ $\int_{\frac{π}{2}}^{π} sin x d x$ ＝1， $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} d x$ ＝ $\frac{π^{3}}{24}$ ，求下列定积分：

(1)、 $\int_{0}^{π} sin x d x$ ；

(2)、 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (sin x + 3 x^{2}) d x$ .

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4. 设公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求满足条件 $(1 - \frac{1}{S_{2}}) (1 - \frac{1}{S_{3}}) ⋯ (1 - \frac{1}{S_{n}}) \geq \frac{1013}{2023} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ 的正整数 $n$ 的最大值．

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5. 某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的 $\frac{3}{7}$ ；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占 $\frac{1}{5}$ .
附：
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{0}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
参考公式： $x^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、请根据以上数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族存关联？

满意
不满意
合计
上班族
非上班族
合计

(2)、为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查.规定：抽样的次数不超过 $n (n \in N_{+})$ ，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到 $n$ 时，抽样结束.
（i）若 $n = 5$ ，写出 $X_{5}$ 的分布列和数学期望；
（ii）请写出 $X_{n}$ 的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明 $X_{n}$ 的数学期望的实际意义.

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2} = 1$ ， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{2} = 3$ ，求 $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ ；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，公差为d，对任意 $n \in N^{*}$ ，均满足 $S_{2 n} \geq n$ ，求d的取值范围.

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n$ ，且 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{n a_{n}}$ .

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 2 a_{2} + 16$ ，且满足 $S_{2020} < 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求无穷数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的各项和.

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9. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x + b$ （ $a > 0$ ， $b \in R$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $a = b$ 时，求实数 $a$ 的取值范围.

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10. 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度 $v (t) = 5 - t + \frac{55}{t + 1}$ （单位：m/s）紧急刹车至停止．求：
（I）从开始紧急刹车到火车完全停止所经过的时间；
（Ⅱ）紧急刹车后火车运行的路程．

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11. 已知抛物线y＝x²－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为 $\frac{4}{3}$ ，求a的值．

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12. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，且 $f (- 1) = 2$ ， $f^{'} (0) = 0$ ， $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 2$ ，求a、b、c的值．

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13. 已知函数f（x）=（2x-1）³ ， g（x）=f（x）-6x²+ax.

(1)、求f'（x）；

(2)、若a= $\int_{0}^{1} 18 x^{2} d x$ ，求g（x）在（ $\frac{1}{2}$ ，+∞）上的单调区间与极值。

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14. 求由曲线 $y = s i n x (x \in [\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}])$ 和 $y = c o s x (x \in [\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}])$ 所围成的平面图形的面积.

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15. 设 $y = f (x)$ 是二次函数，方程 $f (x) = 0$ 有两个相等的实根，且 $f^{'} (x) = 2 x + 2$

(1)、求 $y = f (x)$ 的表达式；

(2)、求 $y = f (x)$ 的图像与两坐标轴所围成图形的面积

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16. 求抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ 及其在点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ 处的切线所围成图形的面积．

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17. 如图，已知二次函数 $f (x) = 3 x^{2} - 3 x$ ，直线 $l_{1} ： x = 2$ ，直线 $l_{2} ： y = 3 t x$ （其中 $- 1 < t < 1$ ， $t$ 为常数）；若直线 $l_{2}$ 与函数 $f (x)$ 的图象以及直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与函数 $f (x)$ 的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

(1)、求阴影面积 $s$ 关于 $t$ 的函数 $y = s (t)$ 的解析式；

(2)、若过点 $A (1 ， m)$ ， $m \neq 4$ 可作曲线 $y = s (t)$ ， $t \in R$ 的三条切线，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1 ， {\frac{n a_{n}}{S_{n}}}$ 是公差为2的等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式以及 $S_{100}$ ；

(2)、证明： $| \frac{1}{a_{1}} | + | \frac{1}{2 a_{2}} | + ⋯ + | \frac{1}{n a_{n}} | < \frac{3}{2}$ ．

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19. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{10} ， n a_{n} = 5 (n + 2) a_{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = (n^{2} + 5 n + 5) a_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .
在① $\frac{11}{10} \leq T_{n}$ ， ② $T_{n} < \frac{5}{4} - \frac{1}{5^{n} (n + 1)}$ 中任意选择一个，补充在横线上并证明.选择________-.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ .

(1)、证明 ${1 + a_{n}}$ 为等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{1 + a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明 $S_{n} < \frac{3}{4}$ .

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$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	满意	不满意	合计
上班族
非上班族
合计