备考2024年高考数学提升专题特训：一元函数导数及其应用

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 求函数 $f (x) = - x^{2} + x$ 在 $x = - 1$ 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

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2. 在 $F_{1}$ 赛车中，赛车位移与比赛时间 $t$ 存在函数关系 $s (t) = 10 t + 5 t^{2}$ （ $s$ 的单位为 $m$ ， $t$ 的单位为 $s$ ）．求：

(1)、 $t = 20 s$ ， $Δ t = 0.1 s$ 时的 $Δ s$ 与 $\frac{Δ s}{Δ t}$ ；

(2)、 $t = 20 s$ 时的瞬时速度．

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3. 已知曲线 $y = f (x)$ .求：

(1)、曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；

(2)、（1）中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

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4. 已知曲线 $C ： y = \frac{1}{t - x}$ 经过点 $P (2 ， - 1)$ ，求：

(1)、曲线在点处的切线的方程；

(2)、过点 $0 (0 ， 0)$ 的曲线C的切线方程．

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5. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} + a x + 2$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线与直线 $2 x + 3 y = 0$ 垂直．

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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6. 已知函数 $f (x) = - 2 x + l n x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) \leq a x^{2} - 2 x$ 恒成立．求实数 $a$ 的取值范围．

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示， ω＞0， $| φ | < \frac{π}{2}$ ，且 $∠ A C B = 90 °$ .

(1)、求 $ω$ 与 $φ$ 的值；

(2)、若斜率为 $\frac{\sqrt{6} π}{4}$ 的直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，求切点坐标.

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8. 设函数f（x）＝x³＋ax²＋bx＋1的导数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (1) = 2 a$ ， $f^{'} (2) = - b$ ，其中常数a ， b∈R.

(1)、求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = \frac{1}{e^{x}} f^{'} (x)$ ，求函数g（x）的极值.

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x}$ ．

(1)、如果a＞0，函数在区间 $(a ， a + \frac{1}{2})$ 上存在极值，求实数a的取值范围；

(2)、当x≥1时，不等式 $f (x) \geq \frac{k}{x + 1}$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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10. 已知函数 $f (x) = l n x + 1 ， g (x) = a x^{2} (a > 0) .$

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $y = f (x) - g (x)$ 的极值；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 存在2 条公切线，求a的取值范围.

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11. 求下列函数的导数：

(1)、 $y = x + \frac{1}{x^{2}}$ ；

(2)、 $y = e^{x} s i n x$ ；

(3)、 $y = x l n (x^{2} + 3 x)$ ．

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12. 记 $y = f' (x)$ ， $y = g' (x)$ 分别为函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in R$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f' (x_{0}) = g' (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的一个“ $S$ 点”．

(1)、证明：函数 $y = x$ 与 $y = x^{2} + 2 x - 2$ 不存在“ $S$ 点”；

(2)、若函数 $y = a x^{2} - 1$ 与 $y = l n x$ 存在“ $S$ 点”，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ ．若存在实数 $a > 0$ ，使函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内存在“ $S$ 点”，求实数 $b$ 的取值范围．

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13. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a l n x ， g (x) = a x ， (a > - 2)$ ．

(1)、讨论函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $\frac{s i n x}{2 + c o s x} \leq g (x)$ 对 $x \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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14. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - 2 x + x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) + 2 \leq x^{2} + (a + 1) x + b$ 在 $x \in (- 1 ， + \infty)$ 上恒成立，求证： $b \geq a + 4 - l n (a + 3)$ .

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15. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = a e^{x} (x - 1) - l n x + f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} (e^{x} - a) - a^{2} x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = l n x - a x - \frac{2}{a x}$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) = f (x) + x^{2} + \frac{2}{a x}$ 有两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求 $2 g (x_{1}) - g (x_{2})$ 的最小值.

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18. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A ， B ， C三个项目，三个测试项目相互不受影响.

(1)、若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从 $A ， B ， C$ 三个项目中选一项测试，且他测试 $A ， B ， C$ 三个项目“通过”的概率分别为 $\frac{3}{5} ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}$ .求他第一项测试“通过”的概率；

(2)、现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择 $A - B - C$ 的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为 $a$ ，第三项通过的概率为 $b$ .若他获得一等奖的概率为 $\frac{1}{8}$ ，求他获得二等奖的概率 $P$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = s i n x - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $(0 ， \frac{π}{2}]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x$ 在 $x = 1$ 处有极值2.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 3]$ 上的最值.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{2} (x^{2} - 2 x)$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 存在极大值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t²＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？

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