备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：一元函数导数及其应用

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a^{2}}{x}$ ， $[1 ， e]$ ，其中 $f {(x)}_{min} = f (1) = 1 + a^{2}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1 ， e]$ （ $e$ 为自然对数的底数）都有 $f' (x) = \frac{(x + a) (x - a)}{x^{2}} < 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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2. 已知函数 $f (x) = a s i n x - (a + 1) x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线方程；

(2)、当 $0 < x < π ， a \leq - 3$ 时，证明： $f (x) + x c o s x > 0$ ．

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3. 已知函数 $f (x) = 2 a (e^{x} - 1) + a s i n x (a \in R ， x ⩾ 0)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间与零点；

(2)、若 $φ (x) = e^{x} + l n (x + 1) - 1$ 且 $φ (x) ⩾ f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4. 已知曲线 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + m x + n$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = 4 x + 3$ .

(1)、求 $m ， n$ 的值；

(2)、已知 $k$ 为整数，关于 $x$ 的不等式 $f (x + x l n x) > f (k (x - 1))$ 在 $x > 1$ 时恒成立，求 $k$ 的最大值.

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5. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x l n x - a x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程：

(2)、证明 $f (x)$ 存在唯一的极值点

(3)、若存在a，使得 $f (x) \geq - a + b$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 成立，求实数b的取值范围．

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{l n x}$ ，其中a为实数.

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、是否存在实数a，使得 $f (x) ＞ \sqrt{x}$ 恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明.

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2 + a ln x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $A (1 ， 1)$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $f (x_{2}) > \frac{5 - 2 ln 2}{4}$ ．

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8. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，M为直线 $l ： y = - 1$ 上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.

(1)、当M的坐标为(0，-1)时，求过M，A，B三点的圆的方程；

(2)、证明：以 $A B$ 为直径的圆恒过点M.

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9. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x} + \sqrt{x + 1 - b} ， g (x) = 1 - c o s x - \frac{1}{2} x^{2}$ .

(1)、若 $a = e - 1 ， b = \frac{7}{4}$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $g (x) \leq 0$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{2} c o s \sqrt{2 b}$ ，证明： $f (x) \leq 0$ .

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m x (m \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + l n (x + 1) - 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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11. 讨论函数 $f (x) = \frac{b x}{x^{2} - 1} (- 1 < x < 1 ， b \neq 0)$ 的单调性.

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12. 设f（x）=﹣ $\frac{1}{3}$ x³+x²+2ax

(1)、若f（x）在（ $\frac{2}{3}$ ， +∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

(2)、当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣ $\frac{16}{3}$ ，求f（x）在该区间上的最大值.

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13. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + 1) l n x - x^{2} - a x ， f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f^{'} (x)$ 的最小值；

(2)、若方程 $f (x) = a x e^{2 a x} - x^{2}$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - a (x s i n x + c o s x) + c o s x + a (x > 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，
（Ⅰ）求 $(π ， f (π))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）判断 $f (x)$ 的单调性，并给出证明；

(2)、若 $f (x) > 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - l n x + (2 a - 1) x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $a > 0$ ，若不等式 $f (x) + \frac{e}{2} \geq 0$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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16.

(1)、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 ${x \in R | x > 0}$ ，设 $y = g (x)$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处的切线的方程. 证明：当 $f^{'} (x)$ 是增函数时， $f (x) ≥ g (x)$

(2)、已知 $e^{x} \geq l n x + c (x > 0)$ ，设 $c$ 的最大值为 $c_{0}$ ，证明： $2.30 < c_{0} < 2.35$ .
（参考数据： $1.648 < \sqrt{e} < 1.649$ ， $20.0 < e^{3} < 20.1$ ， $0.693 < l n 2 < 0.694$ ）

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，设函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (a)$ ，证明： $g (a) \leq 1$ ；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2}$ 。有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，
证明： $h (x_{1}) + h (x_{2}) > 2$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a l n x (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = x + b$ 有唯一实数解，试求实数 $b$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且不等式 $f (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，试求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数f（x）＝2xe^x﹣a（x+lnx）（a∈R）．

(1)、若a＝1，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

(2)、若x₀是函数f（x）的极值点，且f（x₀）＞0，求证：f（x）＞4x₀﹣4x₀³ ．

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20. 求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线 $y = \frac{1}{x^{2}}$ 围成的图形的面积S.

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