备考2024年高考数学提升专题特训：数列

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} + \frac{S_{2}}{2} + \frac{S_{3}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{S_{n}}{n} = \frac{n^{2} + 9 n}{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{4 S_{n} + 15}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，前 $n (n \in N^{*})$ 项和为 $S_{n}$ ，又 $a_{2} = 4 ， S_{9} = 90$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = | 9 - a_{n} |$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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3. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + n - 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < 2$ .

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $3 S_{4} = 2 (a_{5} + a_{8}) ， a_{3} = 3 a_{1} + 2 ， n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的取值范围．

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5. 假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米．求：

(1)、截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？

(2)、哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， S_{3} = 15 ， a_{4} + a_{5} = 20$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，在① $a_{n} = \frac{n}{n - 1} a_{n - 1}$ $(n \geq 2)$ 且 $a_{1} = 1$ ；② $2 S_{n} = n^{2} + n$ ；③ $a_{n} + a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} = 0$ 且 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 3$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：

(1)、已知数列 ${a_{n}}$ 满足_▲_，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知正项等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{2} + b_{3} = 12$ ，求数列 ${\frac{2}{l o g_{2} b_{n} \cdot l o g_{2} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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8. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{n} + a_{n + 1} = \frac{1}{3^{n}}$ ．

(1)、令 $b_{n} = 3^{n - 1} a_{n} - \frac{1}{4}$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、设 $S_{n} = a_{1} + 3 a_{2} + 3^{2} a_{3} + ⋯ + 3^{n - 1} a_{n}$ ，证明：数列 ${4 S_{n} - 3^{n} a_{n}}$ 是等差数列．

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9. 已知函数 $f (x) = l o g_{k} x$ （ $k$ 为常数， $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）.

(1)、在下列条件中选择一个使数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，说明理由；
①数列 ${f (a_{n})}$ 是首项为2，公比为2的等比数列；②数列 ${f (a_{n})}$ 是首项为 $4$ ，公差为 $2$ 的等差数列；③数列 ${f (a_{n})}$ 是首项为2，公差为2的等差数列的前n项构成的数列.

(2)、设 $a_{n} b_{n} = \frac{2^{n + 1}}{4 n^{2} - 1}$ ，当 $k = \sqrt{2}$ 时，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ， .

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10. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁＝2，a_n₊₁＝2S_n+2（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、在a_n与a_n₊₁之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，在数列{d_n}中是否存在3项d_m ， d_k ， d_p（其中m ， k ， p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、若 $a_{1} a_{2} a_{3} = 1$ ，求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，证明： $\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} + 1} < \frac{5}{6}$ .

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{1} - 1$ 、 $a_{2} - 1 、 a_{3} + 1$ 成等比数列， $b_{1} = 1$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式

(2)、若 $c_{n} = b_{n} + l o g_{2} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{n} = \frac{S_{n}}{n (2 n - 1)}$ 且 $a_{1} = \frac{1}{3} (n \in N^{*})$ .

(1)、试求： $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值，并猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、用数学归纳法加以证明.

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14. 已知数列 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (2 n - 1)$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $(n \in N^{*})$ .

(1)、求 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ；

(2)、根据（1）的计算结果，猜想 $S_{n}$ 的表达式，并用数学归纳法进行证明.

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15. 在数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1} = \frac{1}{2}$ ，且当 $n \geq 2$ （ $n$ 为正整数）时， $a_{n} = a_{n - 1} b_{n}$ ， $b_{n} = \frac{b_{n - 1}}{1 - a_{n - 1}^{2}}$ ．

(1)、计算 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $a_{3}$ ， $b_{3}$ ， $a_{4}$ ， $b_{4}$ 的值，并猜测数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、用数学归纳法证明（1）中的猜测．

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16.

(1)、请用分析法证明： $\sqrt{a + 6} + \sqrt{a + 7} > \sqrt{a + 8} + \sqrt{a + 5}$ ；

(2)、用数学归纳法证明不等式： $\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}} > 1 (n \in N^{*} ， n > 1)$ ．

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17. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3 n + 5$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，并猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、用数学归纳法证明（1）中的猜想.

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18. 已知递增等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $2 a_{1} ， \frac{3}{2} a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${l o g_{2} a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n}$ 设数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求使得 $T_{n} \geq 2024$ 的最小正整数n的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $n a_{n + 1} = S_{n} + n (n + 1) ， n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n^{2} + n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，若 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = \frac{2}{(n + 1) a_{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = a_{n + 1}$ ．

(1)、请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；②求 $S_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{S_{n}}{(a_{n + 1} - 1) (a_{n + 2} - 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并证明 $T_{n} < 1$ ．

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