备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：数列

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 数列 $A_{n} ： a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n} (n \geq 4)$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{n} = m ， a_{k + 1} - a_{k} = 0$ 或 $1 (k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n - 1)$ ．对任意 $i ， j$ ，都存在 $s ， t$ ，使得 $a_{i} + a_{j} = a_{s} + a_{t}$ ，其中 $i ， j ， s ， t \in {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ 且两两不相等．

(1)、若 $m = 2$ ，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号．
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2．

(2)、记 $S = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ．若 $m = 3$ ，证明： $S \geq 20$ ；

(3)、若 $m = 2022$ ，求 $n$ 的最小值．

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2. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ . 已知 $S_{n} = \frac{2^{n + 1}}{n + 2} - 1$ ， $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $T_{n} \leq \frac{13}{2} - (n + 6) \cdot \frac{1}{2^{n}}$ .

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3. 数列 ${a_{n}} ： a_{1} ， a_{2} ， a_{n} (n \geq 4)$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{n} = m ， a_{k + 1} - a_{k} = 0$ 或 $1 (k = 1 ， 2 ， \dots ， n - 1)$ ，对任意i，j，都存在s，t，使得 $a_{i} + a_{j} = a_{s} + a_{t}$ ，其中 $i ， j ， s ， t \in {1 ， 2 ， … ， n}$ 且两两不相等.

(1)、若m=2，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号：
①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2

(2)、记S=a₁+a₂+…+a_n ，若 $m = 3$ ，证明： $S \geq 20$ ；

(3)、若m=2022，求n的最小值.

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}}$ ．

(1)、证明数列 ${\frac{1}{a_{n} - 1}}$ 是等差数列，并求通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{1}^{2} \cdot a_{2}^{2} \cdot a_{3}^{2} \cdot ⋯ \cdot a_{n}^{2} \leq k \cdot 2^{n}$ 成立，求 $k$ 的取值范围．

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5. 设 $F_{1} ､ F_{2}$ 分别是椭圆 $E ： x^{2} + 2 y^{2} = t^{2} (t > 0)$ 的左､右焦点.

(1)、求 $E$ 的离心率；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A ， B$ 两点（ $A B$ 与 $y$ 轴不平行）.
①当 $t$ 为常数时，若 $| A F_{2} | ， | A B | ， | B F_{2} |$ 成等差数列，求直线 $l$ 的方程；
②当 $t = \sqrt{2}$ 时.延长 $B F_{2}$ 与 $E$ 相交于另一个点 $C$ （ $B F_{2}$ 与 $x$ 轴不垂直），试判断直线 $A C$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$ 的位置关系，并说明理由.

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 1 + a_{n - 1} (n > 1 ， n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 是公比为正数的等比数列， $b_{1} = 2$ ，且 $2 b_{2}$ ， $b_{3}$ ， 8成等差数列，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $a_{n} \cdot c_{n} = \frac{b_{n} (a_{n} a_{n + 2} + 1)}{2^{n} \cdot (n + 2)}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若数列 ${d_{n}}$ 满足 $d_{n} = \frac{1}{b_{n} + {(- 1)}^{n}}$ ，求证： $d_{1} + d_{2} + \cdot \cdot \cdot + d_{2 n} < \frac{5}{3}$ .

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7. 如果有穷数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ a_{m}$ （ $m$ 为正整数）满足条件 $a_{1} = a_{m}$ ， $a_{2} = a_{m - 1}$ ， …， $a_{m} = a_{1}$ ，即 $a_{i} = a_{m - i + 1}$ （ $i = 1 ， 2 ， ⋯ m$ ），我们称其为“对称数列”．例如，1，2，5，2，1是“对称数列”．

(1)、设 ${b_{n}}$ 是7项的“对称数列”，其中 $b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， b_{4}$ 是等差数列，且 $b_{1} = 2$ ， $b_{4} = 11$ ．依次写出 ${b_{n}}$ 的每一项；

(2)、设 ${c_{n}}$ 是49项的“对称数列”，其中 $c_{25} ， c_{26} ， ⋯ ， c_{49}$ 是首项为1，公比为2的等比数列，求 ${c_{n}}$ 各项的和S ．

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8. 已知等比数列{a_n}的公比q>1，a₁＝2，且a₁ ， a₂ ， a₃－8成等差数列，数列{a_nb_n}的前n项和为 $\frac{(2 n - 1) \cdot 3^{n} + 1}{2}$ .

(1)、分别求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和为S_n ， ∀n∈N^* ， S_n≤m恒成立，求实数m的最小值．

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9. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3})$ ， $b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2}$ （ $n \in N^{*}$ ）；

(3)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{cases} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为奇数， \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}} ， n 为偶数 . \end{cases}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和.

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10. 第 $22$ 届世界杯于 $2022$ 年 $11$ 月 $21$ 日到 $12$ 月 $18$ 日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\frac{2}{3}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数 $X$ 的分布列和期望；

(2)、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外 $2$ 人中的 $1$ 人，接球者接到球后再等可能地随传向另外 $2$ 人中的 $1$ 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第 $n$ 次传球之前球在甲脚下的概率为 $p_{n}$ ，易知 $p_{1} = 1 ， p_{2} = 0$ ．
$①$ 试证明： ${p_{n} - \frac{1}{3}}$ 为等比数列；
$②$ 设第 $n$ 次传球之前球在乙脚下的概率为 $q_{n}$ ，比较 $p_{10}$ 与 $q_{10}$ 的大小．

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11. 某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为 $\frac{2}{5}$ ，摸取其余3种风筝的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为 $X$ 分，求 $X$ 的分布列与期望；

(2)、假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为 $1 ， 2 ， 3 ， ⋯$ 中的任意一个数，记乙累计得 $n$ 分的概率为 $P (n)$ ，当 $n ⩾ 3$ 时，求 $P (n)$ .

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12. 已知点 $A_{1} (1 ， 2)$ ， $A_{2} (2 ， 3)$ ，设 $A_{n} (a_{n} ， b_{n}) (n \in N^{*})$ ，当 $n \geq 3$ 时，线段 $A_{n - 2} A_{n - 1}$ 的中点为 $B_{n}$ ， $B_{n}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点为 $A_{n}$ .例如， $B_{3}$ 为线段 $A_{1} A_{2}$ 的中点，则 $B_{3} (\frac{3}{2} ， \frac{5}{2})$ ， $A_{3} (\frac{5}{2} ， \frac{3}{2})$ .

(1)、设 $c_{n} = a_{n + 1} + b_{n + 1} - a_{n} - b_{n}$ ，证明： ${c_{n}}$ 是等比数列.

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的通项公式.

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13. 有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号．一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响．

(1)、求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；

(2)、若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第 $n$ 个格子的概率为 $p_{n}$ ，求 $p_{59}$ 和 $p_{60}$ 的值．

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14. 在各项均不为零的数列 ${a_{n}}$ 中，选取第 $k_{1}$ 项、第 $k_{2}$ 项、…、第 $k_{m}$ 项，其中 $m \geq 3$ ， $k_{1} < k_{2} < ⋯ < k_{m}$ ，若新数列 $a_{k_{1}} ， a_{k_{2}} ， ⋯ ， a_{k_{m}}$ 为等比数列，则称新数列为 ${a_{n}}$ 的一个长度为 $m$ 的“等比子列”．已知等差数列 ${a_{n}}$ ，其各项与公差 $d$ 均不为零．

(1)、若在数列 ${a_{n}}$ 中，公差 $d = 2$ ， $n \leq 4$ ，且存在项数为3的“等比子列”，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} = \frac{2}{3} n + \frac{4}{3}$ ，数列 $a_{k_{1}} ， a_{k_{2}} ， ⋯ ， a_{k_{n}}$ 为 ${a_{n}}$ 的一个长度为 $n$ 的“等比子列”，其中 $k_{1} = 1$ ，公比为 $q$ ．当 $q$ 最小时，求 $k_{n}$ 的通项公式；

(3)、若公比为 $q$ 的等比数列 ${b_{n}}$ ，满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $b_{3} = a_{i}$ $(i \geq 3 ， i \in N^{*})$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的“等比子列”．

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15. 用数学归纳法证明： $n^{3} + {(n + 1)}^{3} + {(n + 2)}^{3}$ 能被9整除 $(n \in N^{*})$ .

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{n} =$ $\frac{S_{n}}{n (2 n - 1)}$ 且 $a_{1} = \frac{1}{3}$ .

(1)、求 $a_{2} ， a_{3}$ ；

(2)、猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并证明.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ ，它与数列 ${b_{n}}$ 形成的新数列 ${(a_{n} - 1) \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $(n + 1) \cdot 2^{n - 1}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 、 $b_{n}$ ：

(2)、记集合 $D_{n} = {x | 3 b_{n} \leq x \leq a_{n} ， x \in Z}$ ， $c_{n}$ 为集合 $D_{n}$ 中所有元素的和，试比较 $c_{n}$ 与 $\frac{a_{n}^{2}}{2}$ 的大小．

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18. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项为 $a_{1}$ ，且 $\frac{1}{2} ， a_{n} ， S_{n}$ 成等差数列．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，并写出通项公式；

(2)、若 $b_{n} = - 2 l o g_{2} a_{n}$ ，设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、在（2）的条件下，若不等式 $\frac{3 n - 2}{8 n} T_{n} \leq m^{2} - m - 1$ 对一切正整数 $n$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} (n ⩾ 2)$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{7}{4}$ .

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20. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n} ， T_{n}$ ，且满足 $b_{n} = 3^{n} a_{n} ， a_{1} = 1 ， \frac{S_{n}}{n + 1} = \frac{a_{n}}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n + 1} = a_{n} - \frac{3}{2}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} + b_{n + 2} = 2 b_{n + 1}$ 且 $b_{1} = 2 a_{1}$ ， $b_{3} = 4 a_{1} - a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = (a_{n} + \frac{3}{2}) \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、在（2）的条件下，对于实数m，存在正整数n，使得 $S_{n} \leq m$ 成立，求m的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值，并求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $l n^{2} 2 + l n^{2} \frac{3}{2} + ⋯ + l n^{2} \frac{n + 1}{n} < \frac{n}{n + 1}$ .

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