备考2024年高考数学提升专题特训：函数的应用

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 函数的性质通常指函数的定义域､值域､单调性､奇偶性､零点等.已知 $f (x) = \frac{1}{4 - x^{2}}$

(1)、研究并证明函数 $y = f (x)$ 的性质；

(2)、根据函数 $y = f (x)$ 的性质，画出函数 $y = f (x)$ 的大致图象.

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2. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于x的方程 $g (x) + a = 0$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．

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3. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = l o g_{a} x - x$ .

(1)、若 $a = e$ 且 $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ ，求函数 $f (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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4. 已知函数 $f (x) = (x + 2) l n (x + 1) - a x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ，求a的取值范围.

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5. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (3^{x} + 1) + m x$ 是偶函数．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = l o g_{3} (a \cdot 3^{x} - \frac{1}{2} a) + \frac{1}{2} x - f (x)$ （ $a \in R$ ），若 $g (x)$ 有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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6. 已知函数 $f (x) = a^{x} - 2 (a > 0 且 a \neq 1)$ ．

(1)、求证函数 $f (x + 1)$ 的图象过定点，并写出该定点；

(2)、设函数 $g (x) = l o g_{2} (x + 2) - f (x - 1) - 3$ ，且 $g (2) = \frac{1}{2}$ ，试证明函数 $g (x)$ 在 $x \in (1 ， 2)$ 上有唯一零点．

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7. 物理课上老师拿出长为1米的一根导线，此导线中有一处折断无法通电（表面看不出来），如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，较为麻烦．想一想，怎样工作最合理？要把折断处的范围缩小到3～4厘米左右，要查多少次？

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8. 关于x的方程2x²﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，求实数k的取值范围．

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9. 对关于 $x$ 的方程 $x^{3} + x - 1 = 0$ 有近似解，必修一课本里研究过‘二分法’.现在结合导函数，介绍另一种方法‘牛顿切线法’.对曲线 $f (x) = x^{3} + x - 1$ ，估计零点的值在 $x_{0} = 1$ 附近，然后持续实施如下‘牛顿切线法’的步骤：
在 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处作曲线的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{1} ， 0)$ ；

在 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处作曲线的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{2} ， 0)$ ；

在 $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 处作曲线的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{3} ， 0)$ ；

得到一个数列 ${x_{n}}$ ，它的各项就是方程 $x^{3} + x - 1 = 0$ 的近似解，按照数列的顺序越来越精确.请回答下列问题：

(1)、求 $x_{1}$ 的值；

(2)、设 $x_{n + 1} = g (x_{n})$ ，求 $g (x_{n})$ 的解析式（用 $x_{n}$ 表示 $x_{n + 1}$ ）；

(3)、求该方程的近似解的这两种方法，‘牛顿切线法’和‘二分法’，哪一种更快？请给出你的判断和依据.（参照值：关于 $x$ 的方程 $x^{3} + x - 1 = 0$ 有解 $x = 0.6823278 \cdot \cdot \cdot$ ）

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10. 已知函数 $f (x) = \ln x + 2 x - 6$ .

(1)、证明 $f (x)$ 有且只有一个零点；

(2)、求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 $\frac{1}{4}$ .

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11. 若函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a > 0)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上有最大值4和最小值1，设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ；

(1)、求a、b的值；

(2)、关于x的方程 $f (| x - 1 |) + k \cdot \frac{2}{| x - 1 |} - 3 k = 0$ 有且仅有两个不同的实根，求实数k的取值范围．

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12. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} + a)$ .

(1)、若 $a > 0$ ，且对任意 $t \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，任意 $x_{1} ， x_{2} \in [t ， t + 1]$ ，恒有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - l o g_{2} (x + 2 a + 1) = 0$ 的解集是单元素集，求 $a$ 的取值范围.

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13. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + a^{2} + 1}{2^{x}}$ ， $a \in R$ .

(1)、判断 $f (x)$ 是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， 3]$ 上为单调递增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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14. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x + a ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①： $f (x)$ 的最大值为6；
条件②： $f (x)$ 的零点为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小值，以及取得最小值时x的值．

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15. 天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”。预估生产线建设等固定成本投入为 $100$ 万，每生产 $x$ 万个还需投入生产成本 $R (x)$ 万元，且据测算 $R (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x ， 0 ⩽ x ⩽ 8 ， \\ x^{2} + 5 x - 100，8 < x ⩽ 20 ， \\ 46 x + \frac{400}{x - 10} - 560 ， x > 20 . \end{array}$ 若该公司年内共生产该款“暖手宝” $x$ 万只，每只售价 $45$ 元并能全部销售完．

(1)、求出利润 $G ($ 万元 $)$ 关于年产量 $x$ 万个的函数解析式 $G (x) ；$

(2)、当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本 $；$

(3)、当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大 $?$ 并求出最大利润．

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16. 国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计 $30$ 天，包括第 $30$ 天），其主营产品在第 $x$ 天的指导价为每件 $P (x)$ （元），且满足 $P (x) = {\begin{cases} x + 40 ， 1 \leq x \leq 20 \\ 80 - x ， 20 < x \leq 30 \end{cases} (x \in N)$ ，第 $x$ 天的日交易量 $Q (x)$ （万件）的部分数据如下表：
第 $x$ 天
1
2
5
10
$Q (x)$ （万件）
14.01
12
10.8
10.38

(1)、给出以下两种函数模型：① $Q (x) = a + 2_{}^{x + b}$ ， ② $Q (x) = a + \frac{b}{x}$ ，其中 $a ， b$ 为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量 $Q (x)$ （万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出 $Q (x)$ 的函数关系式；

(2)、若该企业在未来一个月（共计 $30$ 天，包括第 $30$ 天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由(1)预测并求出该企业在未来一个月内第 $x$ 天的日交易额 $f (x)$ 的函数关系式，并确定 $f (x)$ 取得最小值时对应的 $x$ .

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17. 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018

投资成本 $x$
3
5
9
17
…
年利润 $y$
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：① $y = - x + b$ ；② $y = a b^{x}$ （ $a \neq 0 ， b > 0$ ，且 $b \neq 1$ ）；③ $y = l o g_{a} (x + b)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、选择一个恰当的函数模型来描述x ， y之间的关系，并求出其解析式；

(2)、试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.

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18. 中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号 $F$ 遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十六号航天员乘组与神舟十五号航天员乘组太空在轨轮换．已知火箭起飞质量 $x$ （单位： $k g$ ）是箭体质量 $M$ （单位： $k g$ ）和燃料质量 $m$ （单位： $k g$ ）之和．在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $v$ （单位： $k m / s$ ）和 $x$ 的函数关系是 $v = a l n x + b l n M$ ，其中 $a ， b$ 为常数，且当燃料质量为 $0 k g$ 时，火箭的最大速度为 $0 k m / s$ ．已知某火箭的箭体质量为 $M k g$ ，当燃料质量为 $(e^{2} - 1) M k g$ 时，该火箭最大速度为 $4 k m / s$ .

(1)、求该火箭的最大速度 $v$ 与起飞质量 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动所需达到的速度，也称为“航天器最小发射速度”．请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到 $7.9 k m / s$ （第一宇宙速度）？

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19. 2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
$x (T)$
1
2
3
4
5
6
…
$y$ (人数)
…
6
…
36
…
216
…
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过 $x (x \in N^{*})$ 个单位时间T的关系有两个函数模型 $y = m x^{2} + n$ 与 $y = k \cdot a^{x} (k > 0 ， a > 1)$ 可供选择．
（参考数据： $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732$ ， $l g 2 = 0.301$ ， $l g 3 = 0.477$ ）

(1)、判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)、求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．

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20. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量 $y$ 与时间 $t$ 年之间的关系为 $y = y_{0} \cdot e^{- \frac{r}{v} t} ， y_{0}$ 为初始量， $r$ 为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关）， $v$ 为塑料分子聚态结构系数.（参考数据： $l n 5 \approx 1.6 ， l g 2 \approx 0.3$ ）

(1)、已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的 $20 %$ 时，大约需要多少年？

(2)、为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的 $20 %$ .要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？

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21. 某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度 $y_{1}$ （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式 $y_{1} = 5 - a t$ （ $a > 0$ ， a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度 $y_{2}$ （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式 $y_{2} = {\begin{array}{l} 2 \sqrt{t} ， 0 < t < 1 ， \\ 5 - \frac{4}{t} ， 1 \leq t \leq 4 . \end{array}$ 现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．

(1)、若 $a = 1$ ，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

(2)、若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．

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22. 某商品近一个月内（30天）预计日销量 $y = f (t)$ （件）与时间t(天)的关系如图1所示，单价 $y = g (t)$ （万元/件）与时间t(天)的函数关系如图2所示，（t为整数）

(1)、试写出 $f (t)$ 与 $g (t)$ 的解析式；

(2)、求此商品日销售额的最大值？

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23. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前 $n (n \in N *)$ 年的支出成本为 $(10 n^{2} - 5 n)$ 万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前 $n$ 年的总盈利额为 $f (n)$ 万元．

(1)、写出 $f (n)$ 关于 $n$ 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)、使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．

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24. 某公司购买了A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩．为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出25台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）：
A
4
4
4.5
5
5.5
6
6
B
4.5
5
6
6.5
6.5
7
7
7.5
C
5
5
5.5
6
6
7
7
7.5
8
8

(1)、已知该公司购买的C品牌电动智能送风口罩比B品牌多200台，求该公司购买的B品牌电动智能送风口罩的数量；

(2)、从A品牌和B品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求A品牌待机时长高于B品牌的概率；

(3)、再从A，B，C三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是a，b，c（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ₁ ，表格中数据的平均数记为μ₀ ．若μ₀≤μ₁ ，写出a+b+c的最小值（结论不要求证明）．

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25. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝ ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 4 x ， 0 < x < 8 \\ 11 x + \frac{49}{x} - 35 ， x \geq 8 \end{array}$ 每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．

(1)、写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．

(2)、年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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年份	2015	2016	2017	2018
投资成本 $x$	3	5	9	17	…
年利润 $y$	1	2	3	4	…

第 $x$ 天	1	2	5	10
$Q (x)$ （万件）	14.01	12	10.8	10.38

A	4	4	4.5	5	5.5	6	6
B	4.5	5	6	6.5	6.5	7	7	7.5
C	5	5	5.5	6	6	7	7	7.5	8	8