备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：函数的应用

试卷更新日期：2024-02-22 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 已知 $f (x) = {s i n}^{n} x$ ， $g (x) = l n x + m e^{x} (n$ 为正整数， $m \in R)$ 。

(1)、当 $n = 1$ 时，设函数 $h (x) = x^{2} - 1 - 2 f (x)$ ， $x \in (0 ， π)$ ，证明： $h (x)$ 有且仅有 $1$ 个零点；

(2)、当 $n = 2$ 时，证明： $\frac{f^{’} (x)}{2} + g (x) < (x + m) e^{x} - 1$ ．

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2. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a s i n x - 1 (a < 0)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求证：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ；

(2)、讨论函数 $g (x) = f (x) + a x c o s x$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的零点个数.

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3. 已知函数 $f (x) = - x^{3}$ 在 $x = 0$ 处的切线l．

(1)、求切线l的方程；

(2)、在同一坐标系下画出 $f (x) = - x^{3}$ 的图象，以及切线l的图象；

(3)、经过点 $(2 ， - 1)$ 做 $f (x) = - x^{3}$ 的切线，共有条．（填空只需写出答案）

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4. 设函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = x + a$ 有两个相异实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围，并证明： $x_{1} x_{2} > 1$ .

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5. 已知函数 $f (x) = - | x^{2} - 2 | - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的零点；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + 2 x^{2} + 2 = 0$ 区间 $(0 ， 4]$ 上有三个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时，若在 $[0 ， 2]$ 上存在2023个不同的实数 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2023)$ ， $x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{2023}$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + ⋯ + | f (x_{2022}) - f (x_{2023}) | = 6$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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6. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1 (a > 0)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的两个零点为 $b$ ， $b + 2$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集.

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7. 已知函数 $f (x) = l n x$

(1)、求曲线 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、已知 $g (x) = \frac{f (x)}{1 + x} - f (x)$ ，求证：存在实数 $x_{0}$ 使得 $g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值，且 $g (x_{0}) = x_{0}$

(3)、求证： $h (x) = a f (x) - x^{2} (a < 0)$ 有唯一零点

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8. 长江存储是我国唯一一家能够独立生产3D NAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking技术使得3D NAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3D NAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装 $x$ 万片，还需要 $C (x)$ 万元的变动成本，通过调研得知，当 $x$ 不超过120万片时， $C (x) = 0.1 x^{2} + 130 x$ ；当 $x$ 超过120万片时， $C (x) = 151 x + \frac{25600}{x} - 1350$ ，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．

(1)、求公司获得的利润 $L (x)$ 的函数解析式；

(2)、封装多少万片时，公司可获得最大利润？

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9. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速 $80 k m / h$ .经多次测试得到该汽车每小时耗电量 $M$ （单位： $W h$ ）与速度 $v$ （单位： $k m / h$ ）的数据如下表所示：
$v$
0
10
30
70
$M$
0
1150
2250
8050
为了描述国道上该汽车每小时耗电量 $M$ 与速度 $v$ 的关系，现有以下三种函数模型供选择：① $M_{1} (v) = \frac{1}{20} v^{3} + b v^{2} + c v$ ；② $M_{2} (v) = 1000 \cdot {(\frac{3}{4})}^{v} + a$ ；③ $M_{3} (v) = 200 l o g_{a} v + b$ .

(1)、当 $0 \leq v \leq 80$ 时，请选出你认为最符合表格中所列数据函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；

(2)、现有一辆同型号电动汽车从 $A$ 地行驶到 $B$ 地，其中高速上行驶 $200 k m$ ，国道上行驶 $40 k m$ ，若高速路上该汽车每小时耗电量 $N$ （单位： $W h$ ）与速度 $v$ （单位： $k m / h$ ）的关系满足 $N (v) = 2 v^{2} - 10 v + 200$ $(80 \leq v < 120)$ ，求电动汽车在两段道路上分别以怎样的速度行驶时可以使总耗电量最少？（假设在两段路上分别匀速行驶）

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10. 某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x + 3200$ ，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元．

(1)、该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？

(2)、为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为 $30 x$ 元．如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案？为什么？

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11. 已知 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\frac{s i n A}{s i n B + s i n C} = \frac{c - b}{b}$ .

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $B$ ；

(2)、求 $\frac{a + c}{b}$ 的取值范围.

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12. 四面体的一条棱长是 $x$ ，其余棱长都是 $1$ ．考虑满足题意四面体如图所示：取 $B C = x$ ，其余棱长为1.

(1)、把四面体的体积 $V$ 表示成 $x$ 的函数 $f (x)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的值域和单调区间．

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13. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 $a$ 元（ $3 \leq a \leq 5$ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 $x$ 元（ $9 \leq x \leq 11$ ）时，一年的销售量为 ${(12 - x)}^{2}$ 万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润 $L$ （万元）与每件产品的售价 $x$ 的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 $L$ 最大，并求出 $L$ 的最大值 $Q (a)$ ．

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14. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 $x (x \in [0, 10])$ (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府 $x$ (万元)补贴后，防护服产量将增加到 $t = k \cdot (6 - \frac{12}{x + 4})$ (万件)，其中 $k$ 为工厂工人的复工率（ $k \in [0.5, 1]$ ）.A公司生产 $t$ 万件防护服还需投入成本 $(20 + 9 x + 50 t)$ (万元).

(1)、将A公司生产防护服的利润 $y$ (万元)表示为补贴 $x$ (万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；

(2)、在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？

(3)、对任意的 $x \in [0, 10]$ (万元)，当复工率 $k$ 达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.

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15. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格 $f (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天） $(1 \leq x \leq 30 ， x \in N^{*})$ 的函数关系满足 $f (x) = 10 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k > 0$ ），日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间 $x$ 的部分数据如下表所示：
$x$
15
20
25
30
$g (x)$
105
110
105
100
设该文化工艺品的日销售收入为 $M (x)$ （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下四种函数模型：
① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = a | x - m | + b$ ；③ $g (x) = a \cdot b^{x}$ ；④ $g (x) = a \cdot l o g_{b} x$ .
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量 $g (x)$ 与时间 $x$ 的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)、利用问题（2）中的函数 $g (x)$ ，求 $M (x)$ 的最小值.

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16. 2022年10月31日下午，长征五号B运载火箭点火起飞，成功将中国空间站的第二个实验舱“梦天实验舱”送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．作为“空间站舱段运输专列”，长征五号B运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，具有强大的“爆发力”和“带货能力”．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位： $k m / s$ ）可用公式 $v = v_{0} l n \frac{M}{m}$ 进行计算，其中 $v_{0}$ （单位： $k m / s$ ）是喷流相对速度，m（单位；吨）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位；吨）是推进剂和火箭质量的总和， $\frac{M}{m}$ 称为总质比．已知X型火箭的喷流相对速度为2 $k m / s$ .
参考数据： $l n 6.4 \approx 1.86$ ， $l n 7.4 \approx 2$ ， $1.64 < e^{0.5} < 1.65$ .

(1)、已知X型火箭的质量约为115吨，推进剂的质量约为736吨，利用给出的参考数据求X型火箭的最大速度；

(2)、经过材料更新和技术改进，X型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的 $\frac{1}{4}$ ，若要使火箭的最大速度至少增加1 $k m / s$ ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.

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17. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $n (n \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 n^{2} - 2 n)$ 万元，每年的销售收入98万元．（注：年平均盈利额 $= \frac{总盈利额}{年度}$ ）

(1)、估计该设备从第几年开始实现总盈利；

(2)、使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．
哪种方案较为合理？并说明理由．

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18. 某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向 $400 \sqrt{3}$ 公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里.

(1)、经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？

(2)、若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？

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19. 某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为 $45$ 万吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为 $9$ 万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜 $m$ 万吨，再按照需求量向两个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为 $1$ 万吨，乙超市前 $x$ 个月的蔬菜总需求量为 $k \sqrt{x}$ 万吨，其中 $1 \leq x \leq 12$ 且 $x \in N^{*}$ ，且前 $4$ 个月，乙超市的蔬菜总需求量为 $12$ 万吨．

(1)、求第 $x$ 个月月底时，该仓库的蔬菜存储量 $M$ （万吨）与 $x$ 的函数关系式；

(2)、若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩余量不超过设计容量，试确定 $m$ 的取值范围．

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20. 有一个农场计划用铁网栅栏建设一个矩形养殖棚，如图，养殖棚的后面是现成的土墙，其他三面用铁网栅栏，侧面长度为 $x$ 米．

(1)、若铁网栅栏长共 $80$ 米且养殖棚内部两侧和前面都要留出宽 $1$ 米的投喂通道．
①求养植棚的有效养殖面积 $y$ （平方米）与 $x$ （米）之间的函数关系式，并求有效面积为 $522$ （平方米）时的 $x$ 值；
②若后面现成的土墙足够长．求怎样设计，才能使有效养殖面积最大．

(2)、若要使建设的养植棚面积为 $800$ 平方米，铁网栅栏建设费用为 $200$ 元/米，那么，当 $x$ 为何值时，铁网栅栏的总建设费用 $z$ 最小，并求出 $z$ 的最小值．

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$v$	0	10	30	70
$M$	0	1150	2250	8050

$x$	15	20	25	30
$g (x)$	105	110	105	100